\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=\frac{3}{4}\\a_{n}=\frac{1}{4}a^{2}_{n-1}+\frac{3}{4}\end{cases}}\)
dla n=>2
Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż że żaden wyraz tego ciągu nie jest większy niż 1
ciąg zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
ciąg zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=2}\):
\(\displaystyle{ a_{2}= \frac{1}{4} ( \frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4}=\frac{9}{64} + \frac{3}{4}=\frac{ 9+48}{64}=\frac{57}{64} q 1}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ a_{k} q 1}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ a_{k+1} q 1}\)
D-d:
\(\displaystyle{ a_{k+1}= \frac{1}{4} a_{k}^2 + \frac{3}{4} q \frac{1}{4} 1 + \frac{3}{4}= 1}\)
W dowodzie skorzystaliśmy z tego, że skoro \(\displaystyle{ 0q 1}\), to \(\displaystyle{ a_{k}^2 q 1}\).
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana nierówność prawdziwa jest dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n q 2}\).
\(\displaystyle{ a_{2}= \frac{1}{4} ( \frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4}=\frac{9}{64} + \frac{3}{4}=\frac{ 9+48}{64}=\frac{57}{64} q 1}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ a_{k} q 1}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ a_{k+1} q 1}\)
D-d:
\(\displaystyle{ a_{k+1}= \frac{1}{4} a_{k}^2 + \frac{3}{4} q \frac{1}{4} 1 + \frac{3}{4}= 1}\)
W dowodzie skorzystaliśmy z tego, że skoro \(\displaystyle{ 0q 1}\), to \(\displaystyle{ a_{k}^2 q 1}\).
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana nierówność prawdziwa jest dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n q 2}\).