2 granice z egzaminu

[LIBRA]

1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \left(n^2\sin\frac{1}{n}\tg\frac{2}{n}\right)}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\cos x + \sin x\right)^\frac{1}{x}}\)

[Lorek]

1.
\(\displaystyle{ n^2 \sin\frac{1}{n}\tan\frac{2}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}\tan\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{2\sin\frac{1}{n}\tan\frac{2}{n}}{\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}}\to 2}\)

[LIBRA]

A skąd Ci wyszło 2? bo nie umie dojść do tego

[Lorek]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1}\)
co wynika z przekształcenia
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\)
i podobnie dla tangensa.

A co do 2:
\(\displaystyle{ (\cos x+\sin x)^\frac{1}{x}=[\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})]^\frac{1}{x}=e^\frac{\ln \sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})}{x}}\)
teraz wystarczy policzyć granicę wykładnika (np. z hospitala)

[max]

2. Można inaczej:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} (\cos x + \sin x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}(1 + \cos x + \sin x - 1)^{\frac{1}{x}} =\\
\lim_{x\to 0}\left(\left(1+ \left(\sin x + \cos x - 1\right)\right)^{\frac{1}{\sin x + \cos x - 1}}\right)^{\frac{\sin x}{x} + \frac{\cos x - 1}{x}} = e}\)

[edit]
poprawione, patrz niżej

[Lorek]

\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{2}}}\)

Hmmm, chyba jednak \(\displaystyle{ e}\)

[max]

\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{2}}}\)

Hmmm, chyba jednak \(\displaystyle{ e}\)

czemu?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}+\frac{\cos x-1}{x}=\frac{\sin x}{x}-\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}=\frac{\sin x}{x}-\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \sin\frac{x}{2}\to 1-1\cdot 0=1}\)
przy \(\displaystyle{ x\to 0}\)

już powinno być ok.

[max]

Zjadłeś dwójkę, ale masz rację
(ja natomiast dwójkę sobie wyimaginowałem - w wykładniku mianownika, stąd błąd)

[LIBRA]

Dzięki Max i Dzięki Lorek