zadanie z ciągami + parametr

[pomidor]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których istnieje takie x że liczby

5^(1+x) + 5^(1-x) ; m/2 ; 25^x + 25^(-x)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.



Prosze o rozwiązanie . Z góry dziękuje za pomoc

[Lorek]

Jak te liczby tworzą ciąg arytm. to zachodzi
\(\displaystyle{ 5^{1+x}+5^{1-x}+25^x+25^{-x}=m}\)
Zastanówmy się jakie wartości przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ f(x)=5^{1+x}+5^{1-x}+25^x+25^{-x}}\).
Dla ułatwienia przyjmijmy \(\displaystyle{ 5^x=t,\: t>0}\), otrzymamy \(\displaystyle{ 5^{1+x}+5^{1-x}+25^x+25^{-x}=5t+\frac{5}{t}+t^2+\frac{1}{t^2}}\).
Aby obliczyć zbiór wartości tej funkcji skorzystamy z nierówności między śr. arytm. i geom.
\(\displaystyle{ 5t+\frac{5}{t}\geq 2\sqrt{5t\cdot\frac{5}{t}}=10\\t^2+\frac{1}{t^2}\geq 2\sqrt{t^2\cdot\frac{1}{t^2}}=2}\)
a zatem
\(\displaystyle{ 5t+\frac{5}{t}+t^2+\frac{1}{t^2}\geq 12\\5^{1-x}+5^{1+x}+25^x+25^{-x}\geq 12}\)
więc musi też zachodzić \(\displaystyle{ m\geq 12}\)

[Vixy]

ja wyznaczyłabym zbiór wartosci tej funkcji

licze granice przy x dazacych do nieskonczonosci i - nieskonczonosci wyjzie +nieskonczonosc

korzystam z warunku ekstremum

pochodna=0

obliczam pochodna funkcji zeby było łatwiej za \(\displaystyle{ 5^{x}}\)=t

nastepnie gdy obliczysz pochodna to wyznaczasz miejsca zerowe

t=0, t=1, t=-1, t=-2, t=-1/2

rysujesz te funkcje , minimum osiaga dla 1

\(\displaystyle{ 5^{x}}\)=1
x=0

F(min=0)=5+5+1+1=12

czyli

[pomidor]

dzięki:D

[Lady Tilly]

Poza tym to zadanie już było tutaj https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=26340

[Sirius]

Może mi ktoś wytłumaczyć co to jest i o co w tym chodzi:

Aby obliczyć zbiór wartości tej funkcji skorzystamy z nierówności między śr. arytm. i geom.

Skąd wzięły się te liczby pod tym zdaniem?

[Lorek]

Dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a+b\geq 2\sqrt{ab}}\)
(więcej np. tu )
a w tym przypadku przyjąłem \(\displaystyle{ a=5t,\: b=\frac{5}{t}}\) w 1 nierówności i potem podobnie w 2.