Suma skończonego ciągu geometrycznego

[goldenka]

Mam wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ a_{n}=(31-n)10^{n-1} , n={1,2,...,30}}\)
Muszę obliczyć sumę wszystkich (czyli 30) wyrazów tego ciągu, tak aby udowodnić, że ta suma należy do przedziału \(\displaystyle{ (10^{29},10^{30})}\).
Jak to zrobić?? Gubię się w rachunkach...

[wb]

Sprawdź wzór na n-ty wyraz bo w tej postaci nie jest to ciąg geometryczny.

[Lorek]

A jakby zrobic tak
\(\displaystyle{ S_{30}=30+29\cdot 10+28\cdot 10^2+27\cdot 10^3+...+ 2\cdot 10^{28}+10^{29}=\\=\underbrace{1+1+...+1+1}_{30} +\underbrace{10+10+...+10}_{29}+...+ 10^{28}+10^{28}+10^{29}=\\=(1+10+10^2+...+10^{28}+10^{29})+(1+10+...+10^{28})+...+(1+10)+1}\)
i teraz zsumować osobno każdy z nawiasów, a potem dodać wszystko.

[mares43]

a może warto zauważyć ze:
\(\displaystyle{ a_{1}=30

a_{2}=290

a_{3}=2800

a_{4}=27000}\)
czyli za kazdym razem zmniejszamy o jeden i dodajemy jedno zero.
widać ze ze trzeci wyraz ma 4 cyfry czwarty ma 5 czyli wyrazy maja o jedno zero wiecej a ostatni wyraz ma ich 29 czyli on sam jest dolna granica tego przedziału a w sumie wszystkie wyrazy należą do przedziału... i to tyle... rozpisz to i bedziesz widziec o co chodzi