nierówność logarytmiczna

[domin]

\(\displaystyle{ log_x\frac{2x-1}{x-1}>1}\)

byłbym wdzięczny gdyby ktoś mógł pomóc

[wb]

1°
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x>1\\\frac{2x-1}{x-1}>x\end{array}\right.}\)

2°
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}0<x<1\\\frac{2x-1}{x-1}<x\end{array}\right.}\)

[domin]

mógłby ktoś to bardziej rozpisać?

[PFloyd]

Rozpiszę to co napisał wb na prośbe autora tematu

dziedzina:
\(\displaystyle{ (2x-1)(x-1)>0\, \wedge \, x\neq 1 \, \wedge \, x\in (0,1)\cup(1,+\infty)\\
x_{1}=-1, x_{2}=\frac{1}{2}\\
x\in (-\infty , \frac{1}{2}) \cup (1,+\infty) \, \wedge \, x\neq 1 \, \wedge \, x\in (0,1)\cup(1,+\infty)\\
x \in (0,\frac{1}{2}) \cup (1,+\infty)}\)

1.
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}>x\\
\frac{2x-1-x^{2}+x}{x-1}=\frac{-x^{2}+3x-1}{x-1}>0\\
(-x^{2}+3x-1)(x-1)>0\\
x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{-2},x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{-2},x_{3}=1\\
x\in (-\infty , \frac{-3+\sqrt{5}}{-2} )\cup (1, \frac{-3-\sqrt{5}}{-2})\wedge x>1\\
x\in (1, \frac{-3-\sqrt{5}}{-2})}\)

2.
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}<x\\
\frac{2x-1-x^{2}+x}{x-1}=\frac{-x^{2}+3x-1}{x-1}<0\\
(-x^{2}+3x-1)(x-1)<0\\
x\in (\frac{-3+\sqrt{5}}{-2}, 1) \cup (\frac{-3-\sqrt{5}}{-2}, +\infty) \wedge 0<x<1\\
x\in (\frac{-3+\sqrt{5}}{-2}, 1)\\}\)

Sumujemy otrzymane przedziały:
\(\displaystyle{ x\in (\frac{-3+\sqrt{5}}{-2}, 1) \cup(1, \frac{-3-\sqrt{5}}{-2}) }\)

[mares43]

a nei powinno byc troche inaczej??

[Calasilyar]

moja babka od matmy by się doczepiła do zapisów typu:
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}x}\), więc ja też jestem sceptyczny. Uważam, że bezpieczniej jest zrobic tak:

\(\displaystyle{ log_{x}\frac{2x-1}{x-1}=\frac{log{\frac{2x-1}{x-1}}}{log{x}}>1\\
\frac{log{\frac{2x-1}{x-1}}-log{x}}{log{x}}=\frac{log{\frac{2x-1}{x(x-1)}}}{log{x}}>0\\
log{\frac{2x-1}{x(x-1)}}\cdot log{x}>0}\)
i teraz dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}\\
\left\{\begin{array}{l}log{\frac{2x-1}{x(x-1)}}>0\\log{x}>0\end{array}\right.\\
2^{\circ}\\
\left\{\begin{array}{l}log{\frac{2x-1}{x(x-1)}}<0\\log{x}<0\end{array}\right.}\)

po prostu mi też się niedawno dostało po głowie za stosowanie takiego warunku i teraz pamiętam