Zadania z pierścieniami

andzior · Post autor: **andzior** » 1 mar 2007, o 21:33

Witam
Mam do rozwiązania dwa zadania i nie mam wogóle pojęcia jak zacząć.

zadanie1
Pokazać, że Z[\(\displaystyle{
ho}\)] jest pierścieniem Euklidesowym, gdzie
\(\displaystyle{ \rho}\)=\(\displaystyle{ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \rho^{2}+\rho+1=0}\)

zadanie2
Znaleźć pierścień ideałów głównych który nie jest Euklidesowy.

Będe wdziczny jeśli ktoś mi to rozwiąże.
Pozdrawiam

Temat poprawiłam.
Radzę zapoznać się z regulaminem.
ariadna

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 4 mar 2007, o 01:37

chyba funkcją orzekającą o euklidesowości będzie:
\(\displaystyle{ N(a+b*\sqrt{p})=a^2 + b^2}\) gdzie p to ten pierwiastek

andzior · Post autor: **andzior** » 4 mar 2007, o 23:09

Wiem dodatkowo, że funkcją orzekającą o euklidesowości jest

\(\displaystyle{ f(a+b\rho)}\)= \(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2}}\)

Ale jak dalej ? Jak wykazać, że

\(\displaystyle{ \forall a,b\in R}\), \(\displaystyle{ a=bq+r}\) to \(\displaystyle{ r=0}\) lub \(\displaystyle{ f(r)}\)

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 5 mar 2007, o 00:09

a+bp,c+dp należy do Z[p] (1)(a+bp)/(c+dp)=e+fp
dobierzmy takie e0 f0: tak:
|e-e0|

Sir George · Post autor: **Sir George** » 5 mar 2007, o 12:33

andzior, cośik mi się wydaje, ze nie o taką funkcję chodzi...
Zauważ, że kiedy a=b, to zawsze dostajesz wartość równą 0.

Moim zdaniem chodziło pewnie o \(\displaystyle{ v(a+\rho b)\,=\, a^2-ab+b^2}\), co jest akurat normą (waluacją, ibo też funkcją euklidesową zwana) w owym pierścieniu. Jest to bowiem odległość na płaszczyżnie zespolonej punktu \(\displaystyle{ a+\rho b}\) od początku układu.

[ Dodano: 5 Marzec 2007, 13:46 ]
A co się tyczy zadania 2., to np. \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-19}]}\) jest pierścieniem ideałów głównych, ale nie jest euklidesowy... Wygooglaj to sobie

andzior · Post autor: **andzior** » 5 mar 2007, o 22:23

Sir George masz racje. Mój błąd z tą normą.