Całka.... błąd pod koniec obliczeń.

[sir_dudi]

Witam, liczyłem sobie taką całkę \(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3}}\), licznik dzieliłem przez pochodną mianownika, wtedy rozbiłem tą całkę na dwie, jedna miała w liczniku pochodną mianownika więc wiadomo co zrobiłem(logarytm naturalny z mianownika), drugą z nich liczyłem rozkładając na ułamki proste, wynikiem była róznica logarytmów więć zapisałem to jaki logarytm ilorazu. Nie wiem co się robi z liczbami które są przed logarytmami np \(\displaystyle{ 3log(x+2)-2log(x+1)}\), logarytmy można byłoby zapisać jako \(\displaystyle{ log\frac{x+2}{x+1}}\) ale z tymi liczbami przed logarytmami nie wiem co zrobić. Wyłączyć się ich przed logarytmy nie da się ,,,,,chyba

[Calasilyar]

\(\displaystyle{ 3log(x+2)=log(x+2)^{3}\\
2log(x+1)=log(x+1)^{2}}\)

[borus87]

Może być źle, ale spróbować (chyba) można...
\(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3}}\) to przez części najpierw:
\(\displaystyle{ u(x)=x+6}\) \(\displaystyle{ v'(x)=\frac{dx}{-3+x^2}}\)
\(\displaystyle{ u'(x)=1}\) \(\displaystyle{ v(x)=- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3}}\)
No i teraz:
\(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3} = (x+6)(- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3})+\int- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3}}\)
Teraz tą 2 całke przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\frac{x}{-3} \quad dt=-3dx \quad dx= \frac{dt}{-3}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3} = (x+6)(- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3})+ t 3 arctg\; t \;dt}\)
więc:
\(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3} = (x+6)(- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3})+ 3 t \;arctg\;t - \frac{1}{2} ln(1+t^2) + C}\)
czyli po podstawieniu za t:
\(\displaystyle{ \int\frac{x+6}{x^2-3} = (x+6)(- \frac{1}{3}arctg \frac{x}{-3})+ \frac{x}{-3} arctg\frac{x}{-3} - \frac{1}{2} ln(1+(\frac{x}{-3})^2) + C}\)
Troche tu namieszalem i nie wiem czy to dobrze... niech ktoś zobaczy i powie czy chociaz cos w tym jest ok

[Calasilyar]

borus87, to tak trochę jak z młotem na mysz ale sir_dudi, coś mi za ładny twój wynik wygląda (mogę się mylic, ale...). Napisz, jak to rozwiązałeś.

[borus87]

znaczy sie kompletnie do bani :/ no trudno... to jak cos to mozna usunac mojego posta..
bo ogólnie to jestem na informie i mi ta analiza tak idzie jak krew z nosa (jutro mam komisa :/) i tak próbuje liczyc te całki ale... pochodne, limki, asymptoty... wszystko luz ale te całki to...

[Calasilyar]

znaczy sie kompletnie do bani :/

ale ja nic takiego nie napisałem, a wyniki w całkach często się różnią.

[luka52]

\(\displaystyle{ \int \frac{x+6}{x^2-3} dx=\int \left( \frac{1-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2x} - \frac{1+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2x} \right) dx}\)
Teraz nie powinno być problemów z całkowaniem

[sir_dudi]

Te pierwiastki które napisałem to nie był wynik.. tylko przykład:)

[Calasilyar]

skoro tak, to mój pierwszy post i koniec tematu