Zbiory mocy continuum

[aina1000]

W jaki sposób udowodnić, że te zbiory mają moc continuum
a) Zbiór wszystkich wielokątów w \(\displaystyle{ R^2}\)
b) Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych
c) Zbiór wszystkich macierzy o wyrazach rzeczywistych

[Puzon]

na czuja to tak
a) bo punktów na \(\displaystyle{ R^2}\) jest continuum, a wybieramy jakieś 3 lub więcej pkt które są wierzchołkami wielokąta, czyli skoro continuum wierzchołków to i continuum wielokątów
b)\(\displaystyle{ a+bx+cx^2+dx^4+...+zx^n=w(x)}\) skoro \(\displaystyle{ a,b,c,d,...z}\) są rzeczywiste to dla \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego mamy continuum możliwości jego wyboru (bo \(\displaystyle{ R}\) jest mocy continuum), a jak przemnożysz continuum przez n to też otrzymasz continuum
c) bo już element \(\displaystyle{ a_{11}}\) można wybrać spośród continuum możliwości bo jest rzeczywiste, nie mówiąc o pozostałych e-tach macierzy

[Jan Kraszewski]

na czuja to tak
a) bo punktów na \(\displaystyle{ R^2}\) jest continuum, a wybieramy jakieś 3 lub więcej pkt które są wierzchołkami wielokąta, czyli skoro continuum wierzchołków to i continuum wielokątów
b)\(\displaystyle{ a+bx+cx^2+dx^4+...+zx^n=w(x)}\) skoro \(\displaystyle{ a,b,c,d,...z}\) są rzeczywiste to dla \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego mamy continuum możliwości jego wyboru (bo \(\displaystyle{ R}\) jest mocy continuum), a jak przemnożysz continuum przez n to też otrzymasz continuum
c) bo już element \(\displaystyle{ a_{11}}\) można wybrać spośród continuum możliwości bo jest rzeczywiste, nie mówiąc o pozostałych e-tach macierzy

To dość duży czuj, choć idący w dobrym kierunku.
a) Formalny dowód jest dość niemiły, najlepiej robić go szcując moc tego zbioru z góry i zdołu i zastosować tw. Cantora-Bernsteina. Z dołu dość łatwo, znajdując rodzinę wielokątów mocy continuum (np. kwadraty o wierzchołkach (0,0), (0,a), (a,0), (a,a) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\)). Z góry trzeba zauważyć, że każdy wielokąt wyznacza skończony podzbiór płaszczyzny - zbiór swoich wierzchołków, a skończonych podzbiorów płaszczyzny jest continuum. Problem polega tylko na tylko na tym, że to wyznaczanie nie jest różnowartościowe (bywają różne wielokaty o tych samych wierzchołkach), dlatego by dostać oszacowanie z góry trzeba jeszcze trochę popracować...
b) Najpierw trzeba pokazać, ze wielomianów ustalonego stopnia n jest continuum (wzajemna odpowiedniość wielomianu i ciągu jego współczynników), a potem skorzystać z faktu, że przeliczalna rodzina zbiorów mocy continuum jest mocy continuum.
Nawiasem mówiąc, Puzon fatalnie opisał swoją próbę dowodu - użycie n w potędze sugeruje, ze wielomian może być dowolnego stopnia (i o to chodziło), natomiast użycie współczynników a,b,...,z sugeruje, że n=24 (czy coś koło tego).
c) Podobnie jak b) - najpierw pokazujesz, że macierzy ustalonego rozmiaru jest continuum, a ponieważ rozmiarów jest tyle, co par liczb naturalnych dodatnich, czyli przeliczalnie wiele, to znów korzystamy z faktu, że przeliczalna rodzina zbiorów mocy continuum jest mocy continuum.

To, co zaproponował Puzon, to są na ogół oszacowania z jednej strony i to też nieprecyzyjnie zrobione...
JK

[aina1000]

dzięki wielkie. wkrótce egzamin i każda pomoc jest mile widziana. Gdyby ktoś był tak miły i opisał to trochę dokładniej byłabym zobowiązana