Równoliczność zbiorów

Aragornik · Post autor: **Aragornik** » 12 lut 2007, o 19:22

Witam
Mogłby mi ktos wytlumaczyc lopatologicznie jak udowodnic rownolicznosc 2 zbiorow?
Konkretnie mialem takie 2 zbiory \(\displaystyle{ }\) oraz \(\displaystyle{ (8,13)}\) .
Pozdrawiam

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 12 lut 2007, o 23:53

ta funkcja liniowa f przekształca bijektywnie jeden przedział na drugi:
y=5/3 x + 4/3

darthez · Post autor: **darthez** » 13 lut 2007, o 01:15

mol_ksiazkowy pisze:ta funkcja liniowa f przekształca bijektywnie jeden przedział na drugi:
y=5/3 x + 4/3

Byłaby to niewątpliwie prawda gdybyśmy chcieli pokazać, że:
\(\displaystyle{ (4,7) (8,13)}\)
W podany zadaniu sprawa jest nieco bardziej skomplikowana...
Proponuję zajrzeć do "Wykładów ze wstępu do matematyki" Guzickiego i Zakrzewskiego - tam jest pomysł jak ustalić bijekcję między przedziałami postaci :
\(\displaystyle{ (c,d)}\)
P.S. Jeżeli ktoś nie jest usatysfakcjonowany mą odpowiedzią, to postaram się zamieścić przykładowe rozwiązanie.

Aragornik · Post autor: **Aragornik** » 13 lut 2007, o 08:49

Darthez moze sie jeszcze orientujesz czy jest mozliwosc wyczarowania tej ksiazki w jakims pdf czy czyms takim?:) oraz jakbys byl tak mily i pokazal jakis przyklad bylbym bardzo wdzieczny.
Pozdrawiam

darthez · Post autor: **darthez** » 13 lut 2007, o 16:22

Co do osiągalności rzezconej książki w formie niematerialnej, to niestety nie mam zielonego pojęcia. Przywołany przez Ciebie przykład zrobiłbym tak:
\(\displaystyle{ g(x)=\left\{\begin{array}{l}9\: dla\: x=4\\8+\frac{1}{1+n}\:dla\:x=4+\frac{1}{n} gdzie\: n\in \NN\setminus \{0,1\}\\12\:dla\:x=7\\12+\frac{1}{1+n}\:dla\:x=\frac{32}{5}+\frac{1}{n} gdzie\: n\in \NN\setminus \{0,1\}\\\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}\: dla\:pozostalych\:x\end{array}\right.}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 16 lut 2007, o 10:02

Można też zrobić dwie injekcje \(\displaystyle{ f:[4,7]\to(8,13), f(x)=x+5}\) i \(\displaystyle{ g:(8,13)\to[4,7], g(x)=\frac{x}{2}}\) i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina.
JK

Aragornik · Post autor: **Aragornik** » 27 lut 2007, o 09:34

mam jeszcze taka prosbe czy moglby ktos rozpisac mi dokladnie jakie kroki zrobic do pokazania rownolicznosc zbiorow \(\displaystyle{ i (52,67)}\) wiem ze trzeba ulozyc prosta przechodzaca przez te punkty jednak nie rozumiem jak zawrzec w funkcji ptk domkniete 3 i 4.

bediej · Post autor: **bediej** » 1 mar 2007, o 18:38

a nie możesz z tw Cantora-Bernsteina (sorry za wiadome błędy literowe) udowodnić że oba te zbiory są mocy c i tyle.. oba zawierają się w (-100,100) a w każdy możesz wsadzić przedział (wszystko jedno czy domk czy otw) o dł np 0,5.. tysiąc sposobów

Post autor: **Jan Kraszewski** » 2 mar 2007, o 12:55

Aragornik pisze:mam jeszcze taka prosbe czy moglby ktos rozpisac mi dokladnie jakie kroki zrobic do pokazania rownolicznosc zbiorow \(\displaystyle{ }\) i \(\displaystyle{ (52,67)}\) wiem ze trzeba ulozyc prosta przechodzaca przez te punkty jednak nie rozumiem jak zawrzec w funkcji ptk domkniete 3 i 4.

To Ci się nie uda przy pomocy prostej. Najprościej jest istotnie przy pomocy tw. Cantora-Bernsteina, ale raczej nie tak, jak sugeruje to bediej (bo w jego rozwiązaniu nie jest jasne, co zakładamy, że wiemy, a co musimy pokazać - jeśli wiemy, że odcinki są mocy continuum, to w zasadzie niewiele trzeba pokazywać...), raczej tak, jak sugerowałem kilka postów wyżej, czyli znajdując dwie injekcje (wtedy nie musimy nic wiedzieć o mocy odcinków).

JK