Całki funkcji wymiernych i trygonometrcznych

[nitager]

Całki,;

1)\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-2)^{2}(x+3)^{2}}}\)

Czy powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{2}{25}ln[(x+3)(x-2)]+C}\) ?

2)\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{8}+x^{6}}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t=x^{2}}\)? Jak to powinno wyglądać?

3)\(\displaystyle{ \int \frac{sinus2x dx}{sinx^{2}+1}}\)

4)\(\displaystyle{ \int cos2xcos3x dx}\)

5)\(\displaystyle{ \int \frac{2x+6}{2x^{2}+3x+1}}\)

[Hamster]

4 można w pamięci zrobić:

\(\displaystyle{ \int cos2xcos3x dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int(cos5x+cosx)dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}sin5x+\frac{1}{2}sinx + C}\)

[nitager]

Dzięki. Wszystko fajnie , ale może by to tak rozpisać. Nie każdy początkujący ma taką dobrą pamięć

[Hamster]

To jest już rozpisane, po prostu istnieje sobie taki oto wzór:

\(\displaystyle{ cos{\alpha}cos\beta=\frac{1}{2}cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}\)

5 całka:
\(\displaystyle{ \int \frac{2x+6}{2x^{2}+3x+1}}\)= \(\displaystyle{ \int\frac{A}{x+\frac{1}{2}}+\frac{B}{x+1}}\)

bo \(\displaystyle{ 2x^2+3x+1=2(x+\frac{1}{2})(x+1)}\)

Liczymy A i B \(\displaystyle{ A(x+1)+B(x+\frac{1}{2})=2x+6}\)

podstawiamy \(\displaystyle{ x =-\frac{1}{2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}A=5}\)
\(\displaystyle{ A=10}\)

Tak samo dla B, tylko,że wstawiamy \(\displaystyle{ x=-1}\).
\(\displaystyle{ B=-8}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{10}{x+\frac{1}{2}}+\frac{-8}{x+1}}\)
Więc \(\displaystyle{ 5 t\frac{dx}{x+\frac{1}{2}}-8\int\frac{dx}{x+1}}\)
\(\displaystyle{ =5ln|x+\frac{1}{2}|-8ln|{x+1}| + C}\)