Granica funkcji

[net34]

Hmm szukalem na forum i jakos nie mogłem tego znalezc.. jzeli jest to prxepraszam.. a co do samej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(\frac{n+4}{n+1})^{2n}}\)

[dem]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(\frac{n+4}{n+1})^{2n}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(\frac{n+1+3}{n+1})^{2n}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{2n}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{ \frac{n+1}{3}})^{2n}}\)

Wewnątrz dąży do e, liczysz teraz granice wykładnika:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{6n}{n+1}}\)=\(\displaystyle{ 6}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ e^6}\)

[net34]

Hmmm jakos tego nie do konca rozumiem.. tzn skad dokldnie bierze sie to wyraznie w drugim limesie?? Bo wyglada to jak ta 'reszta' z nawiasu razy 2 ale czemu tak jest to nie czaje?

[Hamster]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{ \frac{n+1}{3}})^{2n}]^\frac{6n}{n+1}}\)

[borus87]

Hmmm jakos tego nie do konca rozumiem.. tzn skad dokldnie bierze sie to wyraznie w drugim limesie?? Bo wyglada to jak ta 'reszta' z nawiasu razy 2 ale czemu tak jest to nie czaje?

To w rzeczy samej bardzo proste.
Trzeba wiedzieć, że \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{x})^{x} = e}\)
Teraz przekształcamy do takiej (podobnej) postaci. Kolega dem już to świetnie zrobił więc przytoczmy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(\frac{n+4}{n+1})^{2n}=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{2n}}\)
I teraz czasami można nie zauważyć tego od razu jak dem więc najprostszy sposób (i w 100% zawsze skuteczny) to:
to co w nawiasie po 1 odwracamy i dajemy do wykładnika po to by otrzymać wartość e.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{\frac{n+1}{3}}}\)
No ale oczywiście nie można tak sobie podnosić do byle czego bo to zmienia wartość wyrażenia. Ale oczywiście mnożenie przez 1 tej wartości nie zmienia, więc mnożymy (w wykładniku) wszystko jeszcze raz znowu przez odwrotność (by otrzymać 1):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{\frac{n+1}{3} \frac{3}{n+1}}}\)
No ale teraz oczywiście jeszcze nie mamy tego co na początku, bo tam było do potęgi 2n. Więc teraz dodajemy 2n.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{\frac{n+1}{3} \frac{3}{n+1} 2n}}\)
Jak wiadomo:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{n+1})^{\frac{n+1}{3}} = e}\)
Więc po podstawieniu mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}e ^{ \frac{3}{n+1} 2n}}\)
No i właśnie stąd "to się bierze w tym drugim limesie" Po prostu teraz mamy e i liczymy limka z wykładnika który został, co poscik wyżej uczynił dem...