Funkcję d(.,A):X→[0,∞) określoną formułą d(.,A)(x)=d(x,a)nazywamy funkcją odległości od zbioru A.
d(x,A)=inf{d(x,a):a jest elementem A} dla A≠ø;, d(x,ø)=1.
Czy wie ktoś jak sprawdzić własności:
a) d(.,A) jest dobrze określona;
b) d(x,A)=0 ↔ x należy do clA;
c) d(.,A) nie powieksza odległości (jest ciągła)
Funkcja odległości od zbioru
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Funkcja odległości od zbioru
Twój post jest wyjątkowo nieczytelny, postaraj się używać jakiś bardziej wyraźnych odstępów.
Jeżeli chodzi o zadanie:
a) Dlaczego funkcja jest dobrze określona? Oczywiście zakładamy, że metryka w X jest dobrze określona. Zauważ teraz, że w zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, dokładnie jeden. W tym przypadku chodzi o podzbiór \(\displaystyle{ [0, +infty)}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A_{x} = \{ d(x,A)| a\in A \}}\), w szczególności więc funkcja jest dobrze określona.
b) \(\displaystyle{ x \in clA \leftrightarrow}\) każda kula o środku w x i promieniu r>0 przecina się niepusto ze zbiorem A. Zatem? Wystarczy rozważyć ciąg kul o środku w x i promieniu 1/n.
c) Spróbuj udowodnić taką nierówność: niech a,b będą punktami przestrzeni X, zaś A zbiorem niepustym. Wówczas zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ | d(a,A) - d(b,A)| q d(a,b)}\)
To już wystarcza (war. Lipshitza implikuje ciągłość).
Jeżeli chodzi o zadanie:
a) Dlaczego funkcja jest dobrze określona? Oczywiście zakładamy, że metryka w X jest dobrze określona. Zauważ teraz, że w zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, dokładnie jeden. W tym przypadku chodzi o podzbiór \(\displaystyle{ [0, +infty)}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A_{x} = \{ d(x,A)| a\in A \}}\), w szczególności więc funkcja jest dobrze określona.
b) \(\displaystyle{ x \in clA \leftrightarrow}\) każda kula o środku w x i promieniu r>0 przecina się niepusto ze zbiorem A. Zatem? Wystarczy rozważyć ciąg kul o środku w x i promieniu 1/n.
c) Spróbuj udowodnić taką nierówność: niech a,b będą punktami przestrzeni X, zaś A zbiorem niepustym. Wówczas zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ | d(a,A) - d(b,A)| q d(a,b)}\)
To już wystarcza (war. Lipshitza implikuje ciągłość).
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 22 lut 2007, o 18:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
Funkcja odległości od zbioru
Dzięki za pomoc
Mam jeszcze pytanie do podpunktu c). Nie wiem jak z nierówności
d(y,A) ≤ d(y,a) ≤ d(y,x)+d(x,A) dojść do nierówności d(y,A)-d(x,A) ≤ d(y,x).
Czy jest prawdą, że nierówność d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,a) implikuje nierówność
d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,A)
Mam jeszcze pytanie do podpunktu c). Nie wiem jak z nierówności
d(y,A) ≤ d(y,a) ≤ d(y,x)+d(x,A) dojść do nierówności d(y,A)-d(x,A) ≤ d(y,x).
Czy jest prawdą, że nierówność d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,a) implikuje nierówność
d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,A)
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Funkcja odległości od zbioru
Tu coś pomyliłaś w szacowaniu, powinno być małe "a" po prawej stronie. Cały zabieg jest delikatnie subtelniejszy, pamiętaj, że chodzi tu o kresy, a one mogą być przyjmowane lub nied(y,a) ≤ d(y,x)+d(x,A)