Witam!
Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu tych zadań.
1) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których istnieje takie x, źe liczby \(\displaystyle{ 5^{1+x}+5^{1-x} , \frac{m}{2} , 25^{x}+25^{-x}}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
2) Ciąg (\(\displaystyle{ a_n}\)) określony jest wzorem \(\displaystyle{ a_n=tg(\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2})}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_1+2a_2+3a_3+...+50a_{50}}\).
Dzięki!
Ciąg arytmetyczny z parametrem i suma ciągu
-
grzegorz87
- Użytkownik
- Posty: 281
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Gory
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 53 razy
Ciąg arytmetyczny z parametrem i suma ciągu
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=26340 --> zadanie 1 masz tutaj
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Ciąg arytmetyczny z parametrem i suma ciągu
Ad.2
Zauważmy, że funkcja tangens jest funkcją okresową, dokładniej \(\displaystyle{ tg(x+ k \pi)= tg x, k \mathbb{Z}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór liczb całkowitych.
Parzyste wyrazy naszego ciągu przedstawiają się następująco:
\(\displaystyle{ a_{2k}= tg( \frac{ \pi}{4} + 2k \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{4} + k \pi)=tg \frac{ \pi}{4}=1}\)
Nieparzyste wyrazy zaś wyglądają tak:
\(\displaystyle{ a_{2k+1}= tg( \frac{ \pi}{4} + (2k+1) \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{4} + k \pi + \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{2} + \frac{ \pi}{4} ) = -ctg \frac{ \pi}{4}= -1}\)
Obliczamy więc naszą sumę:
\(\displaystyle{ a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + 4a_{4} + ... + 50a_{50}= -1+2 -3 +4-5+.... -49+50=1+1+... +1=25}\)
Zauważmy, że funkcja tangens jest funkcją okresową, dokładniej \(\displaystyle{ tg(x+ k \pi)= tg x, k \mathbb{Z}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór liczb całkowitych.
Parzyste wyrazy naszego ciągu przedstawiają się następująco:
\(\displaystyle{ a_{2k}= tg( \frac{ \pi}{4} + 2k \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{4} + k \pi)=tg \frac{ \pi}{4}=1}\)
Nieparzyste wyrazy zaś wyglądają tak:
\(\displaystyle{ a_{2k+1}= tg( \frac{ \pi}{4} + (2k+1) \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{4} + k \pi + \frac{ \pi}{2} )= tg( \frac{ \pi}{2} + \frac{ \pi}{4} ) = -ctg \frac{ \pi}{4}= -1}\)
Obliczamy więc naszą sumę:
\(\displaystyle{ a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + 4a_{4} + ... + 50a_{50}= -1+2 -3 +4-5+.... -49+50=1+1+... +1=25}\)