[LVIII OM] II etap

[Aramil]

nigdy nie bylo tak latwych zadan zebym je robil w 15 min.

moze ty sie wiecej nauczyles a zadania sa ciagle na tym samym poziome?

[Ziom Ziomisław]

Fajno by było jakby ktoś wrzucił zadanka. Nie bądzcie sknery - dajcie innym też policzyć

[Twarz]

Czesciowo sie zgadzam, 1 i 3 byly bardzo proste. 2 nie zrobilem, po prostu nie mialem pomyslu, heh.

[martaa]

Fajno by było jakby ktoś wżucił zadanka. Nie bądzcie sknery - dajcie innym też policzyć

1. P(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnij, że jeśli wielomiany P(x) i P(P(P(x))) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.

2. Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym BC=CD, DE=EA oraz \(\displaystyle{ \angle BCD=\angle DEA}\). Udowodnij, że z odcinków o dł. AC, CE i EB można zbudować trójkąt. Wyznacz miary jego kątów, znając miarę α kąta ACE i miarę β kąta BEC.

3. Z n� płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku 1 ułożono trójkąt równoboczny o boku n. Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: wybieramy płytkę P mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki P. Następnie odwracamy płytkę P na drugą stronę.
Dla każdego n≥2 roztrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.

Wrzucił przez rz (normalnie się nie czepiam, ale to dziwnie wygląda...)

[Ziom Ziomisław]

Dzięki martaa.
Zadania faktycznie dziwnie łatwe, aż nie chce się wierzyć, że z OMu. Czyżby nagle doszli do wniosku, że dotychczas poziom był zbyt wygórowany i postanowili go radykalnie obniżyć. Aż strach myśleć o tegorocznym progu finałowym - cosik mi się wydaje, że będzie ciut wyższy niż zeszłoroczny
Co do 'rzucania' echem ciiii - nikt nic nie słyszał, nikt nic nie słyszał

[TheButcher]

Jutro powinna być : teoria liczb, nierówność i oczywiście geometria. A co do poziomu to tak naprawde jest on bardzo porównywalny z poprzednimi latami. Każdemu pasuje coś innego. Popatrzcie na LIII lub na LIV tak samo byly banalne. No to jak myslicie, jakie dzialy sie jutro pojawią?

[AG]

to jaki Waszym zdaniem będzie próg punktowy na finał? ??:

[Twarz]

Prawdopodobnie 3-4 na maxa. No ale dzis chyba nikt nie powie, ze 6 bylo calkowicie banalne. Dla mnie hardkor totalny, podobno z jensena mozna, ale jak? :S

[Czesio]

Też strzelam w 17-18 ptk.

[Ziom Ziomisław]

Próg będzie na pewno wyzszy niż rok temu, ale mało prawdopodobne żeby przekroczył 20 punktów.
Tak marginalnie co dzisiaj dali ?

[Czesio]

4.Dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\inZ}\), zachodzi \(\displaystyle{ ad=b^2+bc+c^2}\), udowodnij że suma kwadratów a,b,c,d jest liczbą złożoną.

5. Czworokat wypukły ABCD, w którym AB nie jest równe CD, jest wpisany w okrag.
AKDL i CMBN są rombami o bokach dlugości a. Dowieść, że K,L,M,N leża na jednym okręgu.

6. Dla dotanich a,b,c,d:

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{1}{a}=4}\).
Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\leq2\sum_{cyc}a-4}\)

[wjzz]

Prawdopodobnie 3-4 na maxa. No ale dzis chyba nikt nie powie, ze 6 bylo calkowicie banalne. Dla mnie hardkor totalny, podobno z jensena mozna, ale jak? :S

Ja zrobilem tak:

Zauważamy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[3]{\frac{1+x}{2}}}\) jest wklęsła w sensie Jensena dla x>0 (trzeba policzyc druga pochodna).

Teraz przekształcam tezę w ten sposob, ze z pierwszego pierwiastka wyłączam a, z drugiego b, itp.. i potem dzielę całość przez \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) Dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b+c+d} (a \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{b}{a})^3}{2}}+b \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{c}{b})^3}{2}}+c \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{d}{c})^3}{2}}+d \sqrt[3]{\frac{1+(\frac{a}{d})^3}{2}})\leqslant 2 - \frac{4}{a+b+c+d}}\)

Na mocy nierownosci Jensena lewa jest mniejsza od \(\displaystyle{ f(\frac{1}{a+b+c+d}(a * (\frac{b}{a})+b * (\frac{c}{b})+c * (\frac{d}{c})+a * (\frac{a}{d})))=f(1)=1}\)

Nierówność \(\displaystyle{ 1 qslant 2 - \frac{4}{a+b+c+d}}\) zachodzi dzięki wstawieniu założenia do nierówności między średnią arytmetyczna, a harmoniczną. I tyle:) Jak się znało ten trik z Jensena to wychodziło mechanicznie w kilkanaście minut. Lemat ze wzorcówki to jakiś żart

[Czesio]

ładne.

[szary_barca]

no to jak wam drodzy forumowicze poszło? ile zadań zrobiliście?

jeśli o mnie chodzi to 3 powinienem mieć dobrze (1,2 i 4). I też mi sie wczoraj wydawało, że chyba coś pomylili, bo to pierwsze zadanie... z resztą dzisiejsze 4 też bardzo łatwe. a co do ostatniego - w Lublinie na rozwiązaniach był autor zadania i stwierdził, że nierówność tą dało się rozwiązać tylko z wykorzystaniem elementarnych nierówności o średnich, ale było to dość skomplikowane... mówił też, że zadanie to było planowane dopiero na finał, ale dali je już teraz. A co do moich odczuć do zadań - 1 i 4 banalne, 2 całkiem szło jak sie znalazło sposób, 3 nie wiedziałem jak ugryźć, ale po zobaczeniu rozwiązań też okazało sie całkiem nietrudne, natomiast 5 i 6 to chyba nie mój poziom...

[TomciO]

Licze gdzies na 28. Drugiego nie zrobilem (udowodnilem co prawda, ze mozna zbudowac trojkat, ale nie sadze by za to byly 2 punkty), reszte tak ale zauwazylem u siebie jakies bledy male (powinni po 1 punkcie obciac). Co do nierownosci to tak jak prawie wszyscy co zrobili u nas zrobili mniej wiecej na tej zasadzie co we wzorcowce (tzn. chodzilo o ten sam lemat), jedna osoba zrobila chyba jak wjzz.