Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a,b R _{+}}\) oraz \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 7ab}\), to \(\displaystyle{ log\frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(loga + logb})}\)
Z gory dziekuje za pomoc ;]
dowód
-
setch
- Użytkownik
- Posty: 1294
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
dowód
\(\displaystyle{ log\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}logab\\
log\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}log\frac{a^2+b^2}{7}\\
log\frac{a+b}{3}=\log(\frac{a^2+b^2}{7})^\frac{1}{2}\\
\frac{a+b}{3}=(\frac{a^2+b^2}{7})^\frac{1}{2} \; | (...)^2\\
\frac{a^2+2ab+b^2}{9}=\frac{a^2+b^2}{7}\\
\frac{7ab+2ab}{9}=\frac{a^2+b^2}{7}\\
ab=\frac{a^2+b^2}{7}\\
7ab=a^2+b^2}\)
log\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}log\frac{a^2+b^2}{7}\\
log\frac{a+b}{3}=\log(\frac{a^2+b^2}{7})^\frac{1}{2}\\
\frac{a+b}{3}=(\frac{a^2+b^2}{7})^\frac{1}{2} \; | (...)^2\\
\frac{a^2+2ab+b^2}{9}=\frac{a^2+b^2}{7}\\
\frac{7ab+2ab}{9}=\frac{a^2+b^2}{7}\\
ab=\frac{a^2+b^2}{7}\\
7ab=a^2+b^2}\)