Suma wszystkich współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia wyższego niż 2 wynosi 4, zaś suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa się sumie współczynników przy jej parzystych potęgach. Wyznacz resztę powstałą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=3x^{2}-3}\).
Z góry dziekuje za pomoc
wielomian - reszta z dzielenia
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
wielomian - reszta z dzielenia
Mamy \(\displaystyle{ W(x)=a_{0} + a_{1} x + a_{2}x^2 + ... + a_{n-1} x^n + a_{n} x^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n>2}\).
Z treści zadania wynikają następujące dwie równości:
\(\displaystyle{ W(1)=a_{0} + a_{1} + ... +a_{n}=4 \\ W(-1)= a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + ... = (a_{0} +a_{2} + ... ) - (a_{1} + a_{3} +...)=0}\)
Poza tym wiemy, że \(\displaystyle{ P(x)=3x^2 - 3=3(x-1)(x+1)}\), czyli \(\displaystyle{ P(-1)=P(1)=0}\).
Możemy zapisać, iż \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) P(x) +R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\). Wielomian R może być stopnia co najwyżej pierwszego, ponieważ dzielimy wielomian P przez wielomian stopnia drugiego.
Dostajemy więc układ równań: \(\displaystyle{ W(-1)= Q(-1) P(-1) -a+b=-a+b=0 W(1)=Q(1) P(1) +a+b=a+b=4}\). Obliczamy więc, że \(\displaystyle{ a=2 b=2}\), czyli \(\displaystyle{ R(x)=2x+2}\).
Z treści zadania wynikają następujące dwie równości:
\(\displaystyle{ W(1)=a_{0} + a_{1} + ... +a_{n}=4 \\ W(-1)= a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + ... = (a_{0} +a_{2} + ... ) - (a_{1} + a_{3} +...)=0}\)
Poza tym wiemy, że \(\displaystyle{ P(x)=3x^2 - 3=3(x-1)(x+1)}\), czyli \(\displaystyle{ P(-1)=P(1)=0}\).
Możemy zapisać, iż \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) P(x) +R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\). Wielomian R może być stopnia co najwyżej pierwszego, ponieważ dzielimy wielomian P przez wielomian stopnia drugiego.
Dostajemy więc układ równań: \(\displaystyle{ W(-1)= Q(-1) P(-1) -a+b=-a+b=0 W(1)=Q(1) P(1) +a+b=a+b=4}\). Obliczamy więc, że \(\displaystyle{ a=2 b=2}\), czyli \(\displaystyle{ R(x)=2x+2}\).