Funkcja odległości od zbioru

[Kacha]

Funkcję d(.,A):X→[0,∞) określoną formułą d(.,A)(x)=d(x,a)nazywamy funkcją odległości od zbioru A.
d(x,A)=inf{d(x,a):a jest elementem A} dla A≠ø;, d(x,ø)=1.
Czy wie ktoś jak sprawdzić własności:
a) d(.,A) jest dobrze określona;
b) d(x,A)=0 ↔ x należy do clA;
c) d(.,A) nie powieksza odległości (jest ciągła)

[Arek]

Twój post jest wyjątkowo nieczytelny, postaraj się używać jakiś bardziej wyraźnych odstępów.

Jeżeli chodzi o zadanie:

a) Dlaczego funkcja jest dobrze określona? Oczywiście zakładamy, że metryka w X jest dobrze określona. Zauważ teraz, że w zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, dokładnie jeden. W tym przypadku chodzi o podzbiór \(\displaystyle{ [0, +infty)}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A_{x} = \{ d(x,A)| a\in A \}}\), w szczególności więc funkcja jest dobrze określona.

b) \(\displaystyle{ x \in clA \leftrightarrow}\) każda kula o środku w x i promieniu r>0 przecina się niepusto ze zbiorem A. Zatem? Wystarczy rozważyć ciąg kul o środku w x i promieniu 1/n.

c) Spróbuj udowodnić taką nierówność: niech a,b będą punktami przestrzeni X, zaś A zbiorem niepustym. Wówczas zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ | d(a,A) - d(b,A)| q d(a,b)}\)

To już wystarcza (war. Lipshitza implikuje ciągłość).

[Kacha]

Dzięki za pomoc
Mam jeszcze pytanie do podpunktu c). Nie wiem jak z nierówności
d(y,A) ≤ d(y,a) ≤ d(y,x)+d(x,A) dojść do nierówności d(y,A)-d(x,A) ≤ d(y,x).
Czy jest prawdą, że nierówność d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,a) implikuje nierówność
d(y,A) - d(y,x) ≤ d(x,A)

[Arek]

d(y,a) ≤ d(y,x)+d(x,A)

Tu coś pomyliłaś w szacowaniu, powinno być małe "a" po prawej stronie. Cały zabieg jest delikatnie subtelniejszy, pamiętaj, że chodzi tu o kresy, a one mogą być przyjmowane lub nie

[Kacha]