punkty ciagłości

[Justyna999]

Wyznaczyć punkty ciągłości funkcji \(\displaystyle{ g:R\rightarrow R}\) danej wzorem\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}3|x-1|&x\in Q\\2x& x\in R\setminus Q\end{array}\right.}\)

[max]

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej możemy znaleźć zbieżny do niej ciąg liczb wymiernych jak i ciąg liczb niewymiernych, to biorąc pod uwagę definicję Heinego granicy (lub wynikającą zeń definicję Heinego ciągłości) funkcji, stwierdzamy, że punkt \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) jest punktem ciągłości funkcji \(\displaystyle{ g}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ 3|a - 1| = 2a}\)
Rozwiązując równanie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a \in \{\tfrac{3}{5}, 3\}}\)

[Justyna999]

ale to jest tylko przypuszczenie. trzeba to sprawdzić czy tak rzeczywiście jest...

[max]

Nie bardzo rozumiem - przypuszczenie - w którym dokładnie miejscu? Oczywiście nie jest to żaden formalne rozwiązanie, ale w miarę kompletny szkic w oparciu o który takie rozwiązanie można skonstruować.

Formalnie równanie wynika stąd, że jeśli obierzemy dowolne \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\), oraz zbieżne do tej liczby ciągi : \(\displaystyle{ \{b_{n}\}}\) liczb wymiernych i \(\displaystyle{ \{c_{n}\}}\) liczb niewymiernych, to mamy (z definicji funkcji \(\displaystyle{ g}\) i na podstawie ciągłości funkcji elementarnych w niej występujących):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(b_{n}) = 3|a - 1|\\
\lim_{n\to\infty}f(c_{n}) = 2a}\)
I z definicji Heinego na to by \(\displaystyle{ a}\) było punktem ciągłości potrzeba i wystarcza, aby te granice były równe
(wtedy i tylko wtedy dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ \{d_{n}\}}\) liczb rzeczywistych zbieżnego do \(\displaystyle{ a}\) granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(d_{n})}\) będzie istniała istniała i będzie równa \(\displaystyle{ f(a) = 3|a - 1| = 2a}\)).

Jeśli coś napisałem niezrozumiale, to pytaj, a spróbuję wyjaśnić ewentualne nieścisłości.