Równanie z pierwiastkami.

[Koojon]

Takie równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{x\sqrt{x}-x}+ \sqrt{x}=x \\}\)

Liczę to i dochodzę do dwóch wyników (1 i 0), ale potem zostaje mi wielomian, z którym nie wiem co zrobić. Prosiłbym o kompletne rozwiązanie bo już nie daje rady Z góry thx!

[greey10]

napewno pierw bedzie jeszcze 4 ;D bo wstawilem i ladnie sie zgadza ;d

[ Dodano: 21 Luty 2007, 20:55 ]
napewno pierw bedzie jeszcze 4 ;D bo wstawilem i ladnie sie zgadza ;d moze to ci pomoze bo teraz wiesz jak rozbic ten wielomian ;D napewno mozna go rozbic na (x-4) * p

[PFloyd]

Takie równania robi sie w nastepujacy sposob:
1. Obliczasz dziedzinę:
\(\displaystyle{ x \geq 0\\
x\sqrt{x}-x \geq 0 \rightarrow x\in<1, +\infty) \cup \{0\}}\)
2. podnosisz do kwaratu i na koniec podstawiasz do początkowego równania wyniki wykonując sprawdzenie:
\(\displaystyle{ (\sqrt{x\sqrt{x}-x}+\sqrt{x})^{2}=x^{2}\\
x\sqrt{x}-x+x+2\sqrt{x(x\sqrt{x}-x)}=x^{2}\\
2\sqrt{x^{2}\sqrt{x}-x^{2}}=x^{2}-x\sqrt{x}\\
4(x^{2}\sqrt{x}-x^{2})=x^{4}+x^{3}-2x^{3}\sqrt{x}\\
4x^{2}\sqrt{x}+2x^{3}\sqrt{x}=x^{4}+x^{3}+4x^{2}\\
16x^{5}+4x^{7}+16x^{6}=x^{8}+x^{6}+16x^{4}+2x^{7}+8x^{5}+8x^{6}\\
x^{8}-2x^{7}-7x^{6}-8x^{5}+16x^{4}=0\\
x^{4}(x^{4}-2x^{3}-7x^{2}-8x+16)=0\\
x^{4}(x-1)(x-4)(x^{2}+3x+4)}\)

W czynniku z równaniem kwadratowym delta wychodzi mniejsza od zera wiec jedyne mozliwe pierwiastki to 0, 1, 4 po sprawdzeniu wszytsko sie zgadza

[Tristan]

Myślę, że nie trzeba sobie aż tak komplikować rachunków:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x \sqrt{x} - x} = x - \sqrt{x} \\ x \sqrt{x} -x= x^2 -2 x \sqrt{x} + x \\ x^2 -3 x \sqrt{x} +2x=0 \\ x( x -3 \sqrt{x} +2)=0 \\ x=0 \vee x- 3 \sqrt{x} +2=0 \\x=0 \vee x-2 \sqrt{x} - \sqrt{x} +2=0 \\ x=0 \vee \sqrt{x} ( \sqrt{x} -2) - ( \sqrt{x} -2)=0 \\ x=0 \vee ( \sqrt{x} -2)( \sqrt{x} -1)=0 \\ x=0 \vee \sqrt{x}=2 \vee \sqrt{x}=1 \\ x=0 \vee x=1 \vee x=4}\)