Dana jest suma i ab+ac+... Ud., że co najmniej jedna z licz

Post autor: *Kasia » 20 lut 2007, o 18:34

Zadanie z XIII Drużynowych Zawodów Matematycznych 'Baltic Way'.

Niech a, b, c, d będą takimi liczbami rzeczywistymi, że:
$\displaystyle{ a+b+c+d=-2,\\
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0.}$
Udowodnij, że co najmniej jedna z liczb a, b, c, d jest nie większa niż $\displaystyle{ -1}$.

Próbowałam z nierówności między średnimi, ale nie udało się...
Prosiłabym o jakąś wskazówkę z czego skorzystać lub od czego zacząć, bo zadanie chciałabym rozwiązać (prawie) samodzielnie.

olwe · Post autor: **olwe** » 20 lut 2007, o 18:56

Nie wiem czy Ci to się przyda (pewnie to zauważyłaś), ale zauważ że $\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 4}$ a jezeli |a|,|b|,|c|,|d| < 1 to mamy sprzeczność. Zatem wartość bezwzględna z jakiejś z tych liczb musi być większa od 1, zauważmy tez jakaś z liczb a,b,c,d musi być ujemna, pozostało wiec udowodnić, że liczba której wartość bezwględna jest > 1 jest ujemna.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 20 lut 2007, o 19:31

W tym sek!

te wszystkie cztery liczby nie mogą leżaec w (-1,1)wszak ich suma kwadratow to cztery. A skoro jedna z nich - ta najwieksza =jest >1 , to ta najmiejsza jest....mniejsza od -1,

Post autor: *Kasia » 20 lut 2007, o 20:12

mol_ksiazkowy, nie bardzo rozumiem dlaczego jeśli jedna z tych liczb jest większa od 1, to inna jest mniejsza od -1. Mógłbyś to rozwinąć?

olwe, sumę kwadratów zauważyłam, ale nie pomyślałam o skorzystaniu z modułu...

Mam takie rozwiązanie (jakby ktoś mógł sprawdzić):
Rozpisałam na cztery przypadki:
$\displaystyle{ 1^o}$ Jedna z tych czterech liczb jest ujemna. Wtedy musi być ona niewiększa od $\displaystyle{ -2}$ czyli teza prawdziwa.

$\displaystyle{ 2^o}$ Dwie z tych liczb są ujemne. Wtedy co najmniej jedna jest niewiększa od $\displaystyle{ -1}$. Teza prawdziwa.

$\displaystyle{ 3^o}$ Trzy z tych liczb są ujemne.
$\displaystyle{ 1'}$ Jeśli wszystkie trzy są większe od $\displaystyle{ -1}$, to czwarta (nieujemna) musi być mniejsza od $\displaystyle{ 1}$. Sprzeczność z "modułami".
$\displaystyle{ 2'}$ Co najmniej jedna z nich jest niewiększa od $\displaystyle{ -1}$. Teza prawdziwa.

$\displaystyle{ 4^o}$ Jeśli wszystkie są ujemne, to z "modułów" wynika, że co najmniej jedna z nich jest niewiększa od $\displaystyle{ -1}$. Teza prawdziwa.

I, jak znam życie, jest jakiś prostszy sposób (bez rozpatrywania wszystkich przypadków). Jakby ktoś mógł podać...

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 20 lut 2007, o 20:29

*Kasia napisała:

mol_ksiazkowy, nie bardzo rozumiem dlaczego jeśli jedna z tych liczb jest większa od 1, to inna jest mniejsza od -1. Mógłbyś to rozwinąć?

skoro juz wiemy, ze któraś z tych czterech liczb nie należy do (-1,1 ), a wiec albo jest 1. wteedy: a+b+c =-2 -d

asdasd · Post autor: **asdasd** » 20 lut 2007, o 20:37

majaczycie tak ze az sie zarejestrowalem idzie natychmiast przez sprzecznosc z tozsamosci abela

Kod: Zaznacz cały

http://www.google.pl

aha kasiu zanim uzyjesz nierownosci sprawdz jej warunki bo nierownosc dla srednich nie zajdzie ci dla ujemnych pozdro 600

Post autor: *Kasia » 20 lut 2007, o 22:02

asdasd, korzystałam raczej ze średniej kwadratowej (chociaż poprawniejsze określenie brzmi "próbowałam korzystać"), więc w tym przypadku raczej znaki tych liczb nie są zbyt istotne. (chyba)
Miałeś na myśli ? Jeśli tak, to raczej i tak bym nie skorzystała...

mol_ksiazkowy, teraz rozumiem i rzeczywiście łatwiejsze i krótsze, bo są tylko dwa przypadki (ten i gdy są liczby: 1, 1, -1, -1).

asdasd · Post autor: **asdasd** » 20 lut 2007, o 22:27

ej nie tożsamość abela $!=$ twierdzenie abela