hmm nie umiem sobie poradzić z wyznaczeniem granicy takiej funkcji czy mógłby mi ktos pomóc??
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\ (\frac{1}{2} 2^{x}+\frac{1}{2}3^{x})^{\frac{1}{X}}}\)
Wiem że jakos można ten ułamek obrócić ale za bardzo nie wiem jak to zrobić;//
dziwny limens
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
dziwny limens
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln{\left( \frac{1}{2}2^x + \frac{1}{2}3^x \right)} }{x} }}\)
Pomocniczo obliyczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln{\left( \frac{1}{2}2^x + \frac{1}{2}3^x \right)} }{x} =^H \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}2^x \ln{2} + \frac{1}{2}3^x \ln{3} }{\frac{1}{2}2^x + \frac{1}{2}3^x } = \left[ \frac{1}{2} (\ln{2} + \ln{3}) \right] = \frac{\ln{6}}{2}}\)
Zatem końcowy wynik to:
\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln{6}}{2}} = \sqrt{6}}\)
Pomocniczo obliyczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln{\left( \frac{1}{2}2^x + \frac{1}{2}3^x \right)} }{x} =^H \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}2^x \ln{2} + \frac{1}{2}3^x \ln{3} }{\frac{1}{2}2^x + \frac{1}{2}3^x } = \left[ \frac{1}{2} (\ln{2} + \ln{3}) \right] = \frac{\ln{6}}{2}}\)
Zatem końcowy wynik to:
\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln{6}}{2}} = \sqrt{6}}\)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
dziwny limens
Z definicji logarytmu mamy dla dowolnego dodatniego \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ a = e^{\ln a}}\)
Czyli w tym konkretnym przypadku:
\(\displaystyle{ (\tfrac{1}{2}\cdot 2^{x} + \tfrac{1}{3} 3^{x})^{\frac{1}{x}} = e^{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})^{\frac{1}{x}}} = e^{\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}}}\)
A na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}} = e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}}}\)
\(\displaystyle{ a = e^{\ln a}}\)
Czyli w tym konkretnym przypadku:
\(\displaystyle{ (\tfrac{1}{2}\cdot 2^{x} + \tfrac{1}{3} 3^{x})^{\frac{1}{x}} = e^{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})^{\frac{1}{x}}} = e^{\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}}}\)
A na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}} = e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln(\frac{1}{2}\cdot 2^{x} + \frac{1}{3} 3^{x})}{x}}}\)