Zbieżność szeregu

[gandalfborland]

Zbadaj zbieżnosc szeregu:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{((-1)^n+2+sin(n\frac{\pi}{2}))^n}{4^{n+1}}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^narctg\frac{4}{3^{n-1}}}\)

[bolo]

Spróbuj z pierwiastkowego.

[gandalfborland]

Pierwiastkowe nic nie daje, nawet jak sobie ogranicze z dolu czy z gory to nie moge potem obliczyc granicy, mowie o podpunkcie a) bo b) juz mam

[bolo]

Najwidoczniej źle szacujesz. Z dołu można przez \(\displaystyle{ 0}\), a z góry przez \(\displaystyle{ \frac{1}{4^{n}}}\). Wtedy granica w kryt. pierwiastkowym będzie pomiędzy \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), więc zbieżny.

[gandalfborland]

Niebardzo rozumiem to ograniczenie od gory, mozesz przedstawic jakies logiczne dojscie do takiego ograniczenia?

[max]

\(\displaystyle{ (-1)^{n} \leqslant 1\\
\sin (n\tfrac{\pi}{2})^{n} \leqslant 1\\}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n} + 2 + \sin (n\tfrac{\pi}{2})^{n}}{4^{n+1}} \leqslant \frac{4}{4^{n + 1}} = \frac{1}{4^{n}}}\)