[Nierówności] Dwie nierówności

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac {1}{a^2} + \frac {1}{b^2} +\frac {1}{c^2} \geq \frac {2}{a^2+b^2} + \frac {2}{b^2+c^2} +\frac {2}{c^2+a^2} \geq \frac {9}{a^2+b^2+c^2}}\)

[PFloyd]

a,b,c są dodatnie? czy tylko rózne od zera?

[Czesio]

(1) i (2) po podstawieniu \(\displaystyle{ a^{2}=\frac{1}{x}}\) wychodzi harmoniczna i arytmetyczna.
a w reszcie bym podstawiał a^2=x i x+y+z=1 i wymnażał z mózgiem .


P.S. Co za różnica czy dod. czy nie ?

[PFloyd]

pierwsza nierówność b. łatwo wychodzi z zależności między średnią kwadratową i harmoniczną (ale gdy a,b,c są większe od zera):

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} q \frac{2ab}{a+b}\\
\frac{a^{2}+b^{2}}{2} q \frac{4a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}\\
\frac{2}{a^{2}+b^{2}} q \frac{1}{4a^{2}}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4b^{2}}\\
\\
\\
\frac{2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{a^{2}+c^{2}} q \frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{2b^{2}}+\frac{1}{2c^{2}}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ac}+\frac{1}{2bc} q \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}\)

bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ac}+\frac{1}{2bc} q \frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{2b^{2}}+\frac{1}{2c^{2}}}\)

[max]

\(\displaystyle{ \frac{2}{a^{2} + b^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\cdot \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} qslant \max\left\{\frac{1}{a^{2}}, \frac{1}{b^{2}}\right\}}\)

[martaa]

\(\displaystyle{ p=a^2+b^2 \\ q=b^2+c^2 \\ r=c^2+a^2 \\ p,\ q,\ r qslant 0}\).
Nasza 2. nierówność przybiera wtedy postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{p} +\frac{1}{q} +\frac{1}{r} qslant \frac{9}{p+q+r}}\) a to nierówność między średnimi arytmetyczną a harmoniczną.

[max]

Chyba obie nierówności najzgrabniej będzie z tych średnich (arytm i harm), konkretniej:

Pierwsza:
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^{2} + b^{2}} qslant \frac{\frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}}{2}}\)
dwa razy powtórzyć rozumowanie i dodać stronami

Druga:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2}} qslant \frac{\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{a^{2} + c^{2}}}{3}}\)
i wymnożyć stronami przez \(\displaystyle{ 6}\)

Nie z tej strony chciałem w poprzednim poście... (można próbować w takim stylu - tyle, że nieco inaczej i nie będzie to chyba tak zgrabne i elementarne jak tutaj)