Postać a+bi

[gawcyk1986]

Mam do rozwiązania kilka przykładów z którymi poradzić sobie nie mogę. Poniżej zamieszczę dwa z nich. Jeśli ktoś znajdzie chwilkę czasu prosiłbym o lakoniczne rozwiązanie. Oto treść zadania: Przedstawić w postacji \(\displaystyle{ a+bi}\) pierwiastki kwadratowe z następujących liczb zespolonych.

1) \(\displaystyle{ i}\)
2) \(\displaystyle{ 3+4i}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Zamiast zrobiłem \(\displaystyle{ i od razu lepiej Zmodyfikowałem temat na poprawny. Calasilyar}\)

[aikon]

\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\)

Podstawiasz:
\(\displaystyle{ w^2 = 3+4i \\
w = x+iy \\
(x+iy)^2 = 3+4i \\
x^2 + 2xiy - y^2 = 3+4i}\)

Wyliczasz część rzeczywistą i urojoną:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2 - y^2 = 3\\2xy = 4\end{array}}\)

Wyliczasz układ równań, wyjdzie tam równanie kwadratowe z którego otrzymasz dwa pierwiastki \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), potem podstawisz je do drugiego równania i otrzymasz \(\displaystyle{ y_1, y_2}\).

Będą dwa rozwiązania postaci:
\(\displaystyle{ w_1 = x_1 + iy_1 \\
w_2 = x_2 + iy_2}\)

[yorgin]

1)
Korzystamy ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z^2=i\\
|z|=1\\
z_n=\sqrt[n]{|z|}(cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\frac{\varphi+2k\pi}{n})\\
\varphi=arcsin1=\frac{pi}{2}\\
z_1=cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+isin\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
z_2=cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}=
cos\frac{5\pi}{4}+isin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\}\)

2) Robimy tak samo:
Liczymy moduł, argument i podstawiamy do wzoru.

[aikon]

Po co de Moivrem liczyć pierwiastek drugiego stopnia? Idzie się zajechać. Jakby miał obliczyć 7 stopień to w porządku, ale kwadratowy nie ma sensu.

Odnośnie drugiego przykładu, policzyłem ten układ:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2 - y^2 = 3\\2xy = 4\end{array}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{x} \\
x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 3 \\
x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \\
x^4 - 3x^2 -4 =0}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t = x^2 \\
t^2 - 3t - 4 = 0 \\
\Delta = 25 \\
t_1 = -1 (sprzeczne) \\
t_2 = 4 \\
x_1 = 2 \\
x_2 = -2}\)

Podstawiam do drugiego:
\(\displaystyle{ y_1 = 1 \\
y_2 = -1}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i} = 2+i}\) oraz \(\displaystyle{ -2-i}\)

[yorgin]

Grunt to otrzymać dobry wynik

[basia]

czy na pewno te wyniki są dobre? mi wyszło 2+i i -2-i

[aikon]

czy na pewno te wyniki są dobre? mi wyszło 2+i i -2-i

Racja.