Obliczyć Granice

[Jaquez]

Witam . Niestety we wtorek poprawa koła a ja nic nie czaję z granic . Na zajęciach robiliśmy tylko same proste przykłady albo takie bez funkcji trygonometrycznych. I nie wiem nawet jak się za to zabrać . Wiem że wkleję troszkę może za dużo zadań , ale proszę o pomoc . Jak zobacze schematy jak robi sie takie zadanka to sam popróbuje . Oczywiście proszę o rozwiązania nie używając reguły de la Hospitala , bo już tamtem sposób obczaiłem

1.\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{\sin^{2}(x-1)}{x^{2}-1}=0}\)
czyżby 3 ciągi ?

2.\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-cos}{x^{2}}=}\)

3.\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=}\)

4.\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{cosx-cos3x}{x^{2}}=}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ e^{x}-e^{-x}}{x}=}\)

Z góry dziękuje ...

EDIT

w trzecim w liczniku arcsinx
w tym piątym oczywiście e do x minus e do minus x

[Lorek]

1.
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 (x-1)}{x^2-1}=\frac{\sin (x-1) \sin(x-1)}{(x-1)(x+1)}\to \frac{0}{2}=0}\)
5.
\(\displaystyle{ \frac{e^x-e^{-x}}{x}=\frac{e^x-1-(e^{-x}-1)}{x}=\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{-x}-1}{-x}\to 1+1=2}\)

Korzystam z tego, że
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\\\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1}\)

[ Dodano: Nie Lut 11, 2007 7:51 pm ]
3. \(\displaystyle{ x=\sin t,\: t\to 0}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}=1}\)
2.4. skorzystaj ze wzoru na różnicę cosinusów i potem podobnie.

[Jaquez]

Dzięki Lorek , pomogłeś mi bardzo . ALe nie rozumiem tego 3 . Mam podstawić za x = sin t w mianowniku i liczniku ? Bo jak tak to wychodzi mi (arc sin ^2t ) / sin t tak ? A Tobie wyszło t/sin t ? Jak to przekształcić ? I dlaczego lim = 1 skoro za t podstawiam 0 to mam 0/0 a nie 1/1 :/ No chyba że pora już mi robi z głowy ***

[Lorek]

To tam jest kwadrat? A to co innego
\(\displaystyle{ \frac{\arcsin^2 x}{x}=\frac{\arcsin^2 \sin t}{\sin t}=\frac{(\arcsin \sin t)^2}{\sin t}=\frac{t^2}{\sin t}=\frac{t}{\sin t}\cdot t\to 1\cdot 0=0}\)
skorzystałem z tego, że w pewnym otoczeniu 0 (a tam "jesteśmy") zachodzi równość \(\displaystyle{ \arcsin\sin x=x}\)

to mam 0/0 a nie 1/1

0/0 to symbolo nieoznaczony, a
\(\displaystyle{ \frac{t}{\sin t}=\frac{1}{\frac{\sin t}{t}}}\)
granicą mianownika jest 1, więc granicą całości jest odwrotność 1 (czyli też 1). Ale to już inny przypadek.

[max]

2. Korzystając z wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin ^{2}\tfrac{x}{2})}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sin ^{2}\tfrac{x}{2}}{4(\tfrac{x}{2})^{2}} = \frac{1}{2}}\)

[ Dodano: 11 Luty 2007, 23:41 ]
4. Korzystając z wzoru na cosinusa sumy kątów oraz tego co poprzednio wzoru na cosinus podwojonego kąta i dodatkowo wzoru na sinus podwojonego kąta, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (2x + x) = \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x = \cos x (1 - 2\sin^{2}x) - \sin x(2\sin x \cos x) = \cos x - 4\sin^{2}x\cos x}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - (\cos x - 4\sin^{2}x\cos x)}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{4\sin ^{2}x \cos x}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0} \left(4\cdot \cos x \frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}\right) = 4\cdot 1 \cdot 1 = 4}\)

[Jaquez]

Witam , nie chce zakładać kolejnego tematu , dlatego piszę tutaj . Może mi ktoś tak " w teorii" napisać jakie są "sztuczki" by przekształcić daną granicę by móc zastosować Regułę de la Hospitala ? Czy zawsze stosuje się pomnożenie przez sztuczną jedynkę (można ją zawsze stosować ? ) lub pomnożyć sprzężenie ?