szereg z silnia i potega

[magicstyle]

\(\displaystyle{ \Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{2n!}{3^{n}}}\) jak rozwiazac takie zadanie?? przez\(\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}}\)?? jezeli tak to czy wychodzi 0?? bylo by milewidziane gdyby ktos przyblizyl mi schemat rozwiazania tego jesli sie myle

[sushi]

co trzeba policzyć - zbieżnośc czy znaleźć granicę , a jak wyglada licznik 2*n! czy (2n)!
a tak przy okazji to chyba ten szereg jest rozbieżny...

[magicstyle]

nalezy obliczyc granice ciagu

[max]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2\cdot n!}{3^{n}} > \lim\limits_{n \to \infty} \frac{3\cdot 4^{n - 2}}{3^{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n - 2}\right) = +\infty}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to } \frac{2\cdot n!}{3^{n}} = +\infty}\)
I podany szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

[magicstyle]

Jezu to jest dla mnie tak pokretne ze az nie mozliwe skad wogole sie wzielo ze 1. granica jest wieksza niz 2.? a pozniej ze z 2. granicy jak rozlorzyles to na czynniki ze z 4^(n-2)/3^(n) nagle robi sie (4/3)^n-2??

[max]

Ok, za duży skrót myślowy zrobiłem... teraz powinno być czytelniej i poprawniej:
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot n!}{3^{n}} = \frac{2\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\cdot \ldots \cdot n}{3^{n}} = \frac{2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\cdot \ldots \cdot n}{3^{n}} =\\
= \frac{4\cdot 3\cdot 4 \cdot 5\cdot \ldots n}{3^{n}} > \frac{4\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot \ldots \cdot 4}{3^{n}} = \frac{4\cdot 3 \cdot 4^{n - 3}}{3^{n}} = \frac{3 \cdot 4^{n - 2}}{3 \cdot 3^{n - 1}} = \frac{4^{n - 2}}{3^{n - 1}} = \frac{4^{n - 2}}{3\cdot 3^{n - 2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4^{n - 2}}{3^{n - 2}} = \frac{1}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n - 2}}\)
Przy czym nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n > 4}\).
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to\infty }\left(\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n - 2}\right) = +\infty}\)
to i granica z wyrażenia przyjmującego przy \(\displaystyle{ n \to }\) wartości większe musi być nieskończona:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty }\frac{2\cdot n!}{3^{n}} = +\infty}\)