czy istnieje skonczona granica ciągu:

Leo_Minor · Post autor: **Leo_Minor** » 10 lut 2007, o 12:04

proszę o pomoc, nie wiem jak się za to w ogole zabrac..

zbadac czy istnieje skonczona granica ciągu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{5+1}+\frac{1}{5^{2}+2}+...+\frac{1}{5^{n}+n}}\)

Post autor: **yorgin** » 10 lut 2007, o 12:08

Wystarczy zauważyć, że każdy n-ty element ciągu jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{4^n}}\) i większy od \(\displaystyle{ \frac{1}{6^n}}\)
Granice obu pomocniczych ciągów istnieją (można brać sumy nieskończonych szeregów geometrycznych jako ich granice), więc istnieje także granica zadanego ciągu.

sushi · Post autor: **sushi** » 10 lut 2007, o 12:10

\(\displaystyle{ \frac{1}{5+1}+\frac{1}{5^{2}+2}+...+\frac{1}{5^{n}+n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{5+1} < \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5^{2}+2} < \frac{1}{5^2}}\)

i tak kazdy kolejny wyraz , z prawej strony otrzymamy szereg geometryczny, wiec ten po lewej jest zbieżny

Leo_Minor · Post autor: **Leo_Minor** » 10 lut 2007, o 12:22

dzięki:)!!