Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina

[Barca]

Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x^2}}\) w szereg MacLaurina z resztą R3.

[Sir George]

\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}\,=\,\big(1+x^2\big)^{1/2}\,=\,\sum\limits_{k=0}^{+\infty} {1/2 \choose k}x^{2k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ {\alpha \choose n}\,=\,(-1)^n\frac{(-\alpha)_n}{n!}\,=\, \frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n\cdot(n-1)\cdots1}}\)
a \(\displaystyle{ (a)_n}\) to symbol Pochhammera

Rozpisując do trzeciego wyrazu dostajemy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}\,=\,1+\frac12x^2+R_3}\)

[Barca]

Dzieki