zadania z ciagami na klasowke

[malcowka]

Mam prosbe czy ktos moglby mi rozwiazac te zadanka do jutra?? bo bede je chyba miala na klasowce ;/ bardo prosze o pomoc

1. Dany jest ciag okreslony wzorem \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{4n-1}{2n-1}}\). Zbadaj monotonicznosc. Ile jest w tym ciagu wyrazow wiekszych od 2.1?

2. W 3 pojemnikach znajduja sie krazki CD, ilosc kompaktow w poszczegolnych pudelkaxch tworza ciag geometryczny. Wiadomo, ze w drugim pojemniku znajduje sie o 6 krazkow wiecej niz w pierwszym. W tzrecim pojemniku znajduje sie o 10 krazkow mniej niz w pierwzsym i drugim lacznie. Ile krazkow znajduje sie w kazdym pojmniku?

3. w ciagu arytmetycznym S10=155 i S20=610. Wyznacz ciag , oblicz S30

4. Miasto Y m obecnie 200000 mieszkanocw. W ciagu koljnych 10 lat przyrost wynosil srednio 4% rcznie. Ilumieszkancow bylo w Y przed 10 laty?

z gory dziekuje:)

[Tristan]

1. Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{4n-1}{2n-1}=\frac{4n-2+1}{2n-1}=\frac{2(2n-1)+1}{2n-1}=2+ \frac{1}{2n-1}}\). Aby zbadać monotoniczność określmy, czy różnica dwóch kolejnych wyrazów naszego ciągu \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}}\) jest dodatnia, czy ujemna. Liczymy więc, że:
\(\displaystyle{ a_{n+1} -a_{n}= 2+ \frac{1}{2(n+1)-1} - (2+ \frac{1}{2n-1})=\frac{1}{2n+1}- \frac{1}{2n-1} = \frac{ 2n-1-(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{-2}{4n^2-1}2,1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a_{n}=2+ \frac{1}{2n-1}}\) rozwiązujemy nierówność:
\(\displaystyle{ 2+ \frac{1}{2n-1} >2,1 \\ \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{10} \\ 10>2n-1 \\ n}\)

[Lorek]

2. Mamy 3 pudełka, więc są 3 wyrazy \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\). Wiemy, że
\(\displaystyle{ a_2=a_1+6\\a_3+10=a_1+a_2}\)
możemy to zapisać tak:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_1q=a_1+6\\a_1q^2+10=a_1+a_1q\end{array}

\(\left\{\begin{array}{l} a_1(q-1)=6\\a_1(q^2-q-1)=-10\end{array}}\)
dzielimy stronami (tu dołóż odpowiednie założenia)
\(\displaystyle{ \frac{q-1}{q^2-q-1}=-\frac{3}{5}\\-5q+5=3q^2-3q-3\\q_1=-2,\: q_2=\frac{4}{3}}\)
podstawiając do wzoru
\(\displaystyle{ a_1q=a_1+6}\)
w pierwszym przypadku otrzymujemy \(\displaystyle{ a_1=-2}\) (odpada) a w drugim \(\displaystyle{ a_1=18}\) (może być ) Więc wyrazy tego ciągu to \(\displaystyle{ a_1=18,\;a_2=24,\;a_3=32}\)

[DEXiu]

2. Korzystamy z warunku na ciąg geometryczny:
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza liczbę płyt w pierwszym pojemniku. W drugim jest ich \(\displaystyle{ a+6}\) a w trzecim \(\displaystyle{ 2a-4}\). Wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ (a+6)^{2}=a\cdot(2a-4)}\) i w razie gdyby wyszły dwa rozwiązania - wybrać dodatnie i całkowite

3. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}}\). Ale \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot{r}}\). Zatem \(\displaystyle{ S_{10}=\frac{a_{1}+a_{1}+9r}{2}\cdot{10}=155}\) oraz \(\displaystyle{ S_{20}=\frac{a_{1}+a_{1}+19r}{2}\cdot{20}=610}\). Robimy z tego układ równań, mnożymy pierwszą równość stronami przez 2, odejmujemy i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 100r=300}\) skąd \(\displaystyle{ r=3}\). Dalej już sobie (chyba) poradzisz - wstawiasz r do wzoru na którekolwiek S (nieważne czy \(\displaystyle{ S_{10}}\) czy \(\displaystyle{ S_{20}}\)) i wyliczasz \(\displaystyle{ a_{1}}\)

4. \(\displaystyle{ x\cdot{1,04}^{10}=200000\,\Leftrightarrow\,x\approx135113}\)