znaleść granicę

[skibool]

mam znaleśc granice tagkiej granicy:)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0+}(ctg2x)^\frac{1}{lnx}}\)
prosze o wytłumaczenie

[spajder]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{lnx}}=\lim_{x\to 0^+}exp\left(\frac{\cot{2x}}{lnx}\right)=exp\lim_{x\to0^+ }\frac{\cot{2x}}{lnx}=^Hexp\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{1}{\sin^2{x}}}{\frac{1}{x}}=exp\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{\sin{x}}\cdot \frac{-1}{\sin{x}}=exp\left\|1\cdot \frac{(-1)}{0^+}\right\|=0}\)

[skibool]

mozna o wytłumaczenie co to jest exp cot ????????

[spajder]

\(\displaystyle{ exp(x)}\) to inaczej \(\displaystyle{ e^x}\), używa się to, aby nie robić takich piętrowych wzorów

[skibool]

a ten cot????

[max]

\(\displaystyle{ \cot}\) to cotangens

spajder zjadłeś logarytm...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 0^+}\mbox{exp}\left(\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)= \mbox{exp}\left(\lim_{x\to0^+ }\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}\frac{\ln \cot 2x}{\ln x} = ^{\mathbf{H}} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin^{2} 2x \cot 2x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin 2x \cos 2x} = -1}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1}}\)

[skibool]

jest taka funkcja jak cotangens pierwsze słysze:)

[spajder]

po polsku pisze się \(\displaystyle{ ctg{x}}\)