całkowanie przez części

[mind_hunter]

witam

wzór na całkowanie przez części to \(\displaystyle{ \int{f(x)g'(x)dx} = f(x)g(x) - \int{f'(x)g(x)dx}}\)
czy mogę dowolnie traktować f(x) oraz g'(x)?
może na przykładzie lepiej będzie widać o co mi chodzi.

\(\displaystyle{ \int{sinx e^x dx}}\)
czy zapis (nawiązując do wzoru na całĸ. przez cz.)
\(\displaystyle{ f(x) = sinx}\)
\(\displaystyle{ g'(x) = e^x}\)
jest tak samo poprawny jak
\(\displaystyle{ f(x) = e^x}\)
\(\displaystyle{ g'(x) = sinx}\)
?
Jeśli nie to wg jakiej reguły się to odbywa?

z góry dziękuję
pozdrawiam

[Lady Tilly]

\(\displaystyle{ \int e^{x}sinxdx=-e^{x}+e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx}\)
\(\displaystyle{ 2\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx+sinx)}\)
\(\displaystyle{ \int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}e^{x}(-cosx+sinx)+c}\)

[Kumek]

tak oba zapisy sa poprawne, z tym ze z reguly (a w sumie to prawie zawsze) tylko jeden z nich pomoze w rozwiazaniu, inaczej mowiac nalezy tak podstawic aby "nowa" calka byla latwiejsza do rozwiazania niz wyjsciowa, ew. czasem robi sie tak zeby po podwojnym podstawieniu (tzn podstawiajac drugi raz pod nowa calke) wyszla nam wyjsciowa calka, tylko z przeciwnym zwrotem zeby mozna bylo przeniesc na lewo strone i podzielic przez 2
przykladem tego jest wlasnie calka ktora podales podstawiamy najpierw f(x)=sinx a g'(x)=e^x , a potem w nowej calce znowu h(x)=cosx i g'(x)=e^x, reszta rozwiazania jest w poscie Lady Tilly, wiec nie bede go powielal:P