Calka

[PuniYa]

Prosze o pomoc w rozwiazaniu takiej caleczki:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+1}{\sqrt{5-x^2}}}\)

Rozbilem ja na na dwie czesci, to o ile \(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{5-x^{2}}}}\) policzylem, to z \(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{5-x^{2}}}}\) nie moge sobie dac rady.

[luka52]

Np. przez podstawienie: \(\displaystyle{ x=\sqrt{5} \sin{t} \quad dx = \sqrt{5} \cos{t}dt}\)
Wtedy całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \int{\frac{5 \sin^2{t} \cos{t}\;dt } {\sqrt{5} \sqrt{1-\sin^2{t}}} } = \sqrt{5} t{\sin^2{t}\;dt}}\)

[Hamster]

Jest to całka stowarzyszona:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{5-x^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ C_1=\int\sqrt{\sqrt{5}^2-x^2}}\)
\(\displaystyle{ C_2=\int\frac{x^{2}}{\sqrt{5-x^{2}}}}\)

Najpierw obliczymy całkę C1:

Żeby mi się łatwiej pisało, to 5 będzie naszym\(\displaystyle{ a^2}\).

Mnożymy i następnie dzielimy ją przez\(\displaystyle{ \sqrt{{a^2}-x^2}}\)

Wzór 1 : C1=\(\displaystyle{ \int\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}- \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}\)

Obliczamy pierwszą:
\(\displaystyle{ \int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = a^2 \arcsin \frac{x}{|a|}}\) czyli \(\displaystyle{ 5 \arcsin\frac{x}{|\sqrt{5}|}}\)

Podstawiamy do wzoru pierwszego i otrzymujemy:

Wzór 2: C1 = \(\displaystyle{ a^2 \arcsin \frac{x}{|a|} - C2}\)

C1 całkujemy przez części:

C1=\(\displaystyle{ \int\sqrt{{a^2}-x^2}dx = x\sqrt{a^2-x^2} - \int{x\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}dx}}\)
zatem,

Wzór 3 : C1=\(\displaystyle{ x\sqrt{a^2-x^2}+C2}\)

2C1= \(\displaystyle{ {a^2} arcsin \frac{x}{|a|} + x\sqrt{a^2-x^2}}\)

Dzielimy przez 2 i mamy ukochaną C1:

\(\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}{dx} = \frac{a^2}{2} arcsin \frac{x}{|a|} + \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C}\)

Korzystając ze wzorów 2 i 3, po odjęciu stronami możemy obliczyć \(\displaystyle{ \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}\) zatem,
=\(\displaystyle{ \frac{a^2}{2} arcsin \frac{x}{|a|} - \frac {x}{2}\sqrt{a^2-x^2} +C}\), więc Twoja całka ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} arcsin \frac{x}{|\sqrt{5}|} - \frac {x}{2}\sqrt{5-x^2} +C}\)

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem, jak tak, to pisać !

[PuniYa]

Dziekuje
A jeszcze takie pytanko, jak zrobie ja metoda calek nieoznaczonych to w koncowce mam \(\displaystyle{ -\frac{7}{2}arc ...}\). Jest to mozliwe ?

[Hamster]

Przedstaw swoje rozumowania, to zobaczymy. Nie wiem skąd się 7 tam bierze.

[luka52]

Rozwiązanie metodą współczynników nieoznaczonych
\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+1}{\sqrt{5-x^{2}}}dx \equiv (Ax+B)\sqrt{5-x^2} + C \int\frac{dx}{\sqrt{5-x^2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{\sqrt{5-x^2}} \equiv A \sqrt{5-x^2} - \frac{(Ax+B)x}{\sqrt{5-x^2}} + \frac{C}{\sqrt{5-x^2}}}\)
\(\displaystyle{ x^2+1 \equiv A(5-x^2) - (Ax^2+Bx) + C}\)
\(\displaystyle{ x^2+1 \equiv 5A - Ax^2 - Ax^2 - Bx + C}\)
\(\displaystyle{ x^2+1 \equiv x^2 (-2A) -xB + (5A+C)}\)

\(\displaystyle{ B=0; \quad -2A = 1 A = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 5A+C = 1 C = 1 + 2.5 = 3.5}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^{2}+1}{\sqrt{5-x^{2}}}dx} = -\frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{7}{2} \int{\frac{dx}{\sqrt{5-x^2}}}}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{\sqrt{5-x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{\sqrt{5}}}}\)
to:
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^{2}+1}{\sqrt{5-x^{2}}}dx} = -\frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{7}{2} \arcsin{\frac{x}{\sqrt{5}}} + C}\)

[ Dodano: 3 Luty 2007, 00:22 ]

więc Twoja całka ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} arcsin \frac{x}{|\sqrt{5}|} - \frac {x}{2}\sqrt{5-x^2} +C}\)

tylko, że ten wynik odnosi się do:
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^2dx}{\sqrt{5-x^2}}}}\)
a nie do:
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^2+1}{\sqrt{5-x^2}}dx}}\)

[Hamster]

Rozbilem ja na na dwie czesci, to o ile \(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{5-x^{2}}}}\) policzylem, to z \(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{5-x^2}}}\) nie moge sobie dac rady.

Ja liczyłem tą której on nie policzył.

[PuniYa]

Czyli wszystko sie zgadza