Metoda indukcji matematycznej wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi rownosc :
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 6} + \frac{1}{6 11} + \frac{1}{11 16} + ... + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} = \frac{n}{5n+1}}\)
Zadanko :)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Zadanko :)
1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{1 6}=\frac{1}{6}; P=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)}=\frac{k}{5k+1}}\)
Teza ind.:\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}=\frac{k+1}{5k+6}}\)
D-d:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}= \\ \frac{k}{5k+1}+ \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}=\frac{k(5k+6)+1 }{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{5k^2+6k+1}{ (5k+1)(5k+6)}= \\ \frac{ 5k^2+5k+k+1}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{ 5k(k+1)+(k+1)}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{(k+1)(5k+1)}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{k+1}{5k+6}}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej równość jest prawdziwa dla każdej dodatniej liczby naturalnej.
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{1 6}=\frac{1}{6}; P=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)}=\frac{k}{5k+1}}\)
Teza ind.:\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}=\frac{k+1}{5k+6}}\)
D-d:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1 6} + \frac{1}{ 6 11}+... + \frac{ 1}{ (5k-4)(5k+1)} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}= \\ \frac{k}{5k+1}+ \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}=\frac{k(5k+6)+1 }{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{5k^2+6k+1}{ (5k+1)(5k+6)}= \\ \frac{ 5k^2+5k+k+1}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{ 5k(k+1)+(k+1)}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{(k+1)(5k+1)}{ (5k+1)(5k+6)}=\frac{k+1}{5k+6}}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej równość jest prawdziwa dla każdej dodatniej liczby naturalnej.