Egzamin z topologii

[roman_g]

Witam,
Mam do rozwiązania poniższy egzamin, będę wdzięczny za pomoc;)

I. Odpowiedzieć TAK lub NIE
1. Czy w dowolnej przestrzeni metrycznej zbiory jednopunktowe są domknięte?
2. Czy w dowolnej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest zbiorem otwartym?
3. Czy każda funkcja ciągła jest homeomorfizmem?
4. Czy każdy zbiór brzegowy jest nigdziegęsty?
5. Czy każda metryczna przestrzeń zwarta jest przestrzenią zupełną?
6. Czy domknięcie zbioru musi być zbiorem domkniętym?

II. Podać definicje:
a) wnętrza zbioru w przestrzeni topologicznej
b) metrycznej przestrzeni zupełnej
c) zbioru gęstego

III. Podać definicję i warunki równoważne granicy funkcji w punkcie

IV. Podać definicję i podstawowe własności operacji wnętrza

V. Zdefiniować ośrodkowość. Sformułować własności metrycznych i topologicznych przestrzeni ośrodkowych.


Przy czym najbardziej mi zależy na rozwiązaniu zadania pierwszego, definicje myślę, że sobie gdzieś znajdę, jednak jak ktoś zna i je napisze to się nie pogniewam;)
Pozdrawiam

[kuch2r]

ad.1
jezeli wezmiemy przestrzen dyskretna, to kazdy zbior jest otwarty i domkniety.
w pozostalych metrykach zbiory jednopunktowe sa domkniete.
ad.2
TAK
ad.3
NIE
zeby funkcja f byla homeomorfizmem przestrzeni topologicznych, musi spelniac nastepujace warunki:
1)\(\displaystyle{ f}\) - ciagla
2)\(\displaystyle{ f^{-1}}\) - ciagla
3) \(\displaystyle{ f}\) - jest bijekcja
ad.4
NIE
\(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy brzegowym \(\displaystyle{ \iff intA=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy nigdzie gestym \(\displaystyle{ \iff clA}\) jest zbiorem brzegowym
Przyklad:
\(\displaystyle{ X=\mathbb{R}\quad A=\mathbb{Q}}\)
A jest brzegowy, bo \(\displaystyle{ intA=\emptyset}\)
A nie jest nigdzie gesty, bo \(\displaystyle{ int(clA)=int\mathbb{R}=\mathbb{R}}\)
ad.6
TAK

Ad a)
\(\displaystyle{ clA=\bigcap\{F:F-domkniety, A\subset F\}}\)
Ad b)
Mowimy, ze przestrzen metryczna (X,d) jest przestrzenia zupelna, jezeli dowolny ciag Cauchy'ego w X jest zbiezny w X
Ad c)
Mowimy, ze zbior \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest gesty, jezeli \(\displaystyle{ clA=X}\)

ad IV
\(\displaystyle{ intA=\bigcup\{U:U-otwarty, U\subset A\}}\)
Wlasnosci:
\(\displaystyle{ intX=X\\int\emptyset=\emptyset\\A- jest otwarty \iff intA=A\\A\subset B \Rightarrow intA\subset int B\\int(intA)=intA\\int(A\cap B)=intA\cap int B\\intA\cup intB\subset int(A\cup B)}\)

ad V
Mowimy,ze przestrzen topologiczna X jest przestrzenia osrodkowa, jezeli istnieje taki zbior \(\displaystyle{ A\subset X}\), ktory jest przeliczalny i gesty.

W przestrzeniach metrycznych zachodzi nastepujaca rownowaznosc:
\(\displaystyle{ X-osrodkowa \iff X \hbox{ spelnia II aksjomat przeliczalnosci}}\)
W przestrzeniach topologicznych zachodzi implikacja tylko w jedna strone:
\(\displaystyle{ X\hbox{ spelnia II aksjomat przeliczalnosci } \iff X- osrodkowa}\)
Implikacja w druga strone nie zachodzi:
Bo topologia strzalki jest osrodkowa, ale nie spelnia II aksjomatu przeliczalnosci

[roman_g]

Dziękuję bardzo!;)

[grzesuav]

II AD a) podałeś definicje domkniecia a nie wnetrza
\(\displaystyle{ IntA= \bigcup \{U \tau_X : U A\}}\)

[kuch2r]

no tak racja.
nie wiem czemu jak odpowiadalem na posta wydawalo mi sie ze jest tam definicja domkniecia.
ale po co autor posta pyta drugi raz o definicje wnetrza w IV ?? :/

[roman_g]

Jeżeli chodzi o te "wnętrze" to w notatkach znalazłem takie dwie definicje:

Def 1
Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru \(\displaystyle{ A}\) nazywamy wnętrzem zbioru \(\displaystyle{ A}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ intA}\).

Def 2
Wnętrzem zbioru \(\displaystyle{ A}\) nazywamy największy zbiór otwarty zawarty w \(\displaystyle{ A}\).


Przy czym pierwsza była podana jak omawialiśmy metryki, a druga jak przestrzenie topologiczne.