dowód przestrzeni metrycznych

[garf99]

Witam,
Mam problem z udowodnieniem przestrzeni metrycznych, a mianowicie :
1.\(\displaystyle{ d(x,y)=\sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + (x_{2} - y_{2})^2}}\)
2.\(\displaystyle{ d(x,y)=|x_{1} - y_{1}| + |x_{2} - y_{2}|}\)
3.\(\displaystyle{ d(x,y)=max\{a,b\}}\)
Wiem, ze aby byla to metryka musi spelnic 3 rzeczy, ale nie potrafie wykazac tego ze spelniaja je.

[mospin]

napisz może z którymi punktami definicji w którym przykładzie masz problem to będzie szybciej niż dowodzić wszystko od zera

[Arek]

Jedyne problemy mogą pojawić się przy próbie dowodu nierówności trójkąta.

W podanych przypadkach korzystamy:

a) Z nierówności Cauchy'ego - Schwarza,
b) Z podstawowych własności wartości bezwzględnej, np: |a|+|b|≥|a+b|,
c) Logiki (względnie rozpisania sobie wszystkich możliwości, nie ma ich za wiele).

[kuch2r]

moze ktos sprecyzowac co to jest \(\displaystyle{ \{a,b\}}\) ??
jesli w 3 przykladzie chodzilo autorowi o maksimum dwoch liczb, to 3 nie bedzie metryka.
Wystarczy sobie wziasc \(\displaystyle{ max\{-5,-3\}}\)

[grzesuav]

przypuszczam ze w c) miała być metryka maksimum w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)

[garf99]

tak, w c metryka maksimum.
A najwiecej trudnosci mam z metryka numer 1. a najgorzej to jest z ta nierownoscia trojkata.

[mospin]

a na jakim zbiorze ma być ta metryka w 3.??



drugi punkt przykładów

[kuch2r]

na \(\displaystyle{ R^2}\) pewnie

[mospin]

chyba raczej na R albo na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\)

[kuch2r]

poczekajmy az wypowie sie autor posta.

[garf99]

Przepraszam za dluga zwloke, ale nie mialem wczesniej mozliwosci.
Chodzi o \(\displaystyle{ R^2}\) . Tak bylo w zadaniu, ale ja nie twierdze ze ono jest dobrze sformulowane.

[mospin]

to co to w takim razie jest a i b w 3 podpunkcie?? bo jedyne co mi przychodzi to \(\displaystyle{ a=|x_1 -y_1|, b=|x_2 -y_2|}\)