Jak obliczyć asymptoty takich funkcji ??
\(\displaystyle{ xe^{-\frac{1}{x} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ xarctg\frac{1}{x}}\)
Asymptoty
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Asymptoty
Policzyć jednostronne granice w punktach, w których zeruje się mianownik (asymptoty pionowe); policzyć granice w nieskończonościach (asymptoty poziome); policzyć w każdej nieskończoności granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x}}\) i jeśli istnieje skończona granica tego wyrażenia \(\displaystyle{ a}\), to policzyć w tej nieskończoności granicę \(\displaystyle{ b}\) wyrażenia\(\displaystyle{ f(x) - ax}\) (asymptoty ukośne o równaniu \(\displaystyle{ y = ax + b}\))
Dla przykładu funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = xe^{-\frac{1}{x}}}\)
Szukamy asymptot pionowych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{-}} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = -\infty}\)
Wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma lewostronną asymptotę pionową \(\displaystyle{ x = 2}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{+}} xe^{-\frac{1}{x}} = ft[0 e^{-\infty}\right] = 0}\)
Szukamy asymptot poziomych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to -\infty} \big(x(e^{-\frac{1}{x}} - 1) + x\big) = \lim\limits_{x \to -\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x\right) = ft[-1 -\infty\right] = -\infty}\)
Brak asymptoty poziomej lewostronnej.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to +\infty} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \big(x(e^{-\frac{1}{x}} - 1) + x\big) = \lim\limits_{x \to +\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x\right) = ft[-1 +\infty\right] = +\infty}\)
Brak asymptoty poziomej prawostronnej.
Szukamy asymptot ukośnych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{x}} = ft[e^{0}\right] = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to -\infty}(f(x) - x) = \lim\limits_{x \to -\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x - x\right) = -1}\)
Asymptotą lewostronną ukośną wykresu funkcji jest prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = x - 1}\)
Analogicznie wykazujemy, że prosta o takim równaniu jest również asymptotą ukośną prawostronną.
Dla przykładu funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = xe^{-\frac{1}{x}}}\)
Szukamy asymptot pionowych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{-}} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = -\infty}\)
Wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma lewostronną asymptotę pionową \(\displaystyle{ x = 2}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{+}} xe^{-\frac{1}{x}} = ft[0 e^{-\infty}\right] = 0}\)
Szukamy asymptot poziomych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to -\infty} \big(x(e^{-\frac{1}{x}} - 1) + x\big) = \lim\limits_{x \to -\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x\right) = ft[-1 -\infty\right] = -\infty}\)
Brak asymptoty poziomej lewostronnej.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to +\infty} xe^{-\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \big(x(e^{-\frac{1}{x}} - 1) + x\big) = \lim\limits_{x \to +\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x\right) = ft[-1 +\infty\right] = +\infty}\)
Brak asymptoty poziomej prawostronnej.
Szukamy asymptot ukośnych:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{x}} = ft[e^{0}\right] = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to -\infty}(f(x) - x) = \lim\limits_{x \to -\infty} ft(-\frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} + x - x\right) = -1}\)
Asymptotą lewostronną ukośną wykresu funkcji jest prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = x - 1}\)
Analogicznie wykazujemy, że prosta o takim równaniu jest również asymptotą ukośną prawostronną.