Granice przy x -> -inf i x -> pi/2

[Camill]

Witam, jeśli ktoś mógłby pomóc mi w rozwiązaniu tych dwóch zadań to będę wdzięczny

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}(x(e^{\frac{1}{x}}-1))}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\Pi}{2}} (sinx)^{tgx}}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -\infty}x(e^\frac{1}{x}-1)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}}\)
podstawienie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t,\; t\to 0}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1}\)

[Yrch]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(sinx)^{tgx}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(e)^{\frac{sinx}{cosx}ln(sinx)}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(e)^{0}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{sinx}{cosx}ln(sinx)}=0}\) poniewaz ln(sinx) zbiega do 0 a sinx/cosx jest ograniczona.

[max]

Chyba jednak nie jest ograniczona...

Można tak:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x}\ln (\sin x) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1 + \sin x - 1)}{\sin x - 1} \sin x \frac{\sin x - 1}{\cos x}= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1 + \sin x - 1)}{\sin x - 1} \sin x \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - x) - 1}{\sin(\frac{\pi}{2} - x)} =\\= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1 + \sin x - 1)}{\sin x - 1}\cdot \sin x \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - x) - 1}{(\frac{\pi}{2} - x)^{2}}\cdot \frac{\frac{\pi}{2} - x}{\sin(\frac{\pi}{2} - x)} (\tfrac{\pi}{2} - x) = \left[1 \cdot 1 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \cdot 1 \cdot 0\right] = 0}\)

[Yrch]

Heh faktycznie troche sie zapedzilem, tak to jest jak sie robi zadania schematycznie ;]