czy da sie obliczyc pochodna?

[krystian122]

Dzis podczas wykladow przyszla mi do glowy taka mysl i za cholere nie wiedzialem jak to rozwiazac i czy wogole to ma sens.

Otoz, czy wie ktos moze jak obliczyc i czy istnieje wogole:

\(\displaystyle{ (x!)'=?}\)

[bolo]

To w nawiasie jest nieciągłe, co w zasadzie wyklucza różniczkowalność.

[max]

To w nawiasie jest nieciągłe

Przecież ciąg \(\displaystyle{ a_{x} = x!, \ x\in \mathbb{N}}\) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie dziedziny, więc czemu miałby nie być funkcją ciągłą?


A co do pochodnej to się osobiście nie wypowiem, bo nic mądrego mi nie przychodzi do głowy...

Jednocześnie korzystając z dobrodziejstw Sieci znalazłem .

[bolo]

Mówimy teraz o silni, a nie o funkcji gamma.

[max]

Zgadza się. Silnia jest funkcją ciągłą w każdym punkcie dziedziny, a co do pochodnej to jak napisałem - nie jestem w stanie nic mądrego powiedzieć.

[bolo]

Chyba, że ktoś chce na siłę zróżniczkować gammę i "wyjąć" interesujące go punkty (\(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)), tylko to moim zdaniem jest z lekka bez sensu. Poza tym nadal aktualne jest to co napisałem tu moim pierwszym poście, więc różniczkowanie samej silni jako tako odpada.

[max]

Hmm, mógłbyś wyjaśnić czemu wg Ciebie 'to w nawiasie jest nieciągłe' ?

Ja mogę przedstawić swój punkt widzenia: każdy punkt dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x!}\) jest punktem izolowanym tej dziedziny. Z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie wynika, że funkcja w każdym punkcie izolwanym dziedziny jest ciągła. Stąd jeśli przez funkcję ciągłą rozumieć funkcję ciągłą w każdym punkcie dziedziny, to silnia jest funkcją ciągłą.

[bolo]

Tylko że w dowolnie małym otoczeniu każdego argumentu nic się nie znajduje prócz tego argumentu. Może niezbyt formalnie to ująłem. To o czym mówisz, to zdaje się być ciągłością w zbiorze argumentów tylko naturalnych (a więc dziedziny). Moim zdaniem jest to trochę naciągnięte Nie ma jak zbadać ciągłości, tzn. obliczyć granice jednostronne w tym punkcie, bo sama wartość funkcji w danym (z dziedziny) punkcie jest oczywista.

[max]

Poteoretyzujmy:


Definicje Cauchy'ego:

-granicy funkcji w punkcie:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) = A \ \Leftrightarrow \ \left(\forall_{\epsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon \right) \right)}\)

-ciągłości funkcji w punkcie:

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) wtw
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\right) }\)


Załóżmy, że do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) należy taki punkt \(\displaystyle{ x_{0}}\), że w pewnym jego otoczeniu nie istnieje różny od niego punkt należący do dziedziny tej funkcji.
(Innymi słowy istnieje takie \(\displaystyle{ \delta' > 0}\), że w przedziale \(\displaystyle{ (x_{0} - \delta', x_{0} + \delta')}\) jedyną liczbą należącą do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ x_{0}}\)).

Załóżmy, że wtedy nie istnieje granica funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\), lub, że funkcja nie jest w tym punkcie ciągła.
Z założenia tego, korzystając z przytoczonych definicji Cauchy'ego, otrzymujemy odpowiednio:

(nie istnieje granica w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)
\(\displaystyle{ \forall_{A \in \mathbb{R}} \ \exists_{\epsilon > 0} \ \forall_{\delta > 0} \ \exists_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \land|f(x)-A|\ge\epsilon \right) }\)

lub

(funkcja nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)
\(\displaystyle{ \exists_{\epsilon > 0} \ \forall_{\delta > 0} \ \exists_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \land |f(x)-f(x_0)|\ge\epsilon\right) }\)

Ale gdy przyjmiemy \(\displaystyle{ \delta = \delta'}\) i sprawdzimy wartość logiczną powyższych 2 zdań to okaże się, że każde z nich jest fałszywe (bo niezależnie od \(\displaystyle{ \epsilon}\), nie istnieje takie \(\displaystyle{ x \neq x_{0}}\), że \(\displaystyle{ |x - x_{0}| }\)).
Stąd fałszywym było zarówno założenie o nieistnieniu granicy funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\), jak i założenie o nieciągłośći funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\).

Jeśli punktem izolowanym zbioru \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}}\) nazywać będziemy każdy taki punkt \(\displaystyle{ x \in X}\), że istnieje takie sąsiedztwo tego punktu, do którego nie należy żaden element zbioru \(\displaystyle{ X}\), to z powyższych rozważań wynika, że:
Funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y, \ \ X, Y \subseteq \mathbb{R}}\) jest ciągła w każdym punkcie izolowanym swojej dziedziny.

Ale z tego twierdzenia wynika bezpośrednio, że każdy ciąg jest funkcją ciągłą w każdym punkcie swojej dziedziny, w szczególności funkcja 'silnia' jest funkcją ciągłą w każdym punkcie swej dziedziny.

A że może się to kłócić z intuicyjnym pojęciem ciągłości, to już jakby inna sprawa...

[ Dodano: 19 Styczeń 2007, 15:30 ]
A wracając do pochodnej - pojęcie pochodnej funkcji w punkcie odnosi się do punktów skupienia dziedziny tej funkcji, a ponieważ zbiór liczb naturalnych nie posiada punktów skupienia należących do tego zbioru - to i nie istnieje punkt, w którym silnia byłaby różniczkowalna.

[krystian122]

wiec ostatecznie jaka jest odpowiedz da sie policzyc pochodna czy nie za bardzo?

[max]

Nie istnieje pochodna, więc nie za bardzo jest co liczyć.

[krystian122]

ale czemu nie istnieje pochodna? jaki warunek nie zostal spelniony?

[max]

W definicji (w źródłach w tej chwili mi dostępnych, tzn u Fichtenholza i u Kuratowskiego) pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) zakłada się, że funkcja ta jest określona w pewnym przedziale zawierającym ten punkt (warunek ten można by było uogólnić zakładając, że punkt \(\displaystyle{ a}\) jest punktem skupienia dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) należącym do tej dziedziny). Tutaj ten warunek (ani uogólnienie) nie jest spełniony.

Uogólnienie definicji pochodnej (jako granicy ilorazu różnicowego) na punkty izolowane dziedziny nie jest możliwe, gdyż dla ilorazu różnicowego:
\(\displaystyle{ g(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \ h\ne 0}\)
(gdzie a jest punktem izolowanym dziedziny),
istnieje takie dodatnie \(\displaystyle{ h'}\), że dla każdego \(\displaystyle{ h}\) takiego, że \(\displaystyle{ |h| < h'}\) iloraz ten nie jest określony. Zatem nie możemy też liczyć granicy ilorazu różnicowego przy \(\displaystyle{ h \to 0}\).
(Za \(\displaystyle{ h'}\) możemy obrać promień dowolnego otoczenia punktu \(\displaystyle{ a}\), do którego nie należą różne od \(\displaystyle{ a}\) punkty z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\)).