Mam wielką prośbe. Otóz równań rózniczkowych nie zdażyliśmy przerobic na ćwiczeniach a w wymogach egzaminu z analizy pojawiły się 2 przykłady. czy mógł by ktoś je rozwiązać krok po kroku bo zupełnie nie iwem co trzeba z nimi robić. Z góry dzieki
a) y'-y=x
b) (2x+1)y'=y
Równanie rózniczkowe
-
LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 908
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
Równanie rózniczkowe
b).
y'=dy/dx
\(\displaystyle{ \frac{dx}{2x+1}=\frac{dy}{y}}\)
Całkujesz obustronnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}=ln(y)+C_{2}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}-C_{2}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{\frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}-C_{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2x+1}{\cdot}\frac{e^{C_{1}}}{e^{C_{2}}}}\)
y'=dy/dx
\(\displaystyle{ \frac{dx}{2x+1}=\frac{dy}{y}}\)
Całkujesz obustronnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}=ln(y)+C_{2}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}-C_{2}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{\frac{1}{2}ln(2x+1)+C_{1}-C_{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2x+1}{\cdot}\frac{e^{C_{1}}}{e^{C_{2}}}}\)
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2352
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Równanie rózniczkowe
Ad. 1.
\(\displaystyle{ x+y=u \\ 1+\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} \\ u'-1=u \\ \frac{u'}{u+1}=1 \\ \ln|u+1|=x+C \\ u=C_{1}e^{x}-1 \\ y=C_{1}e^{x}-(x+1)}\)
\(\displaystyle{ x+y=u \\ 1+\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} \\ u'-1=u \\ \frac{u'}{u+1}=1 \\ \ln|u+1|=x+C \\ u=C_{1}e^{x}-1 \\ y=C_{1}e^{x}-(x+1)}\)