Orbita geostacjonarna

[Doktór Piter]

oblicz ile musialaby trwac doba ziemska aby orbita o promieniu rownym promieniowi ziemi mogla byc jednoczesnie orbita geostacjonarna. Wyraz wynik przez przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni ziemi \(\displaystyle{ g}\) i promien ziemi \(\displaystyle{ R}\).

Zastanow sie jak z punktu widzenia obserwatora spoczywajacego na powierzchni ziemi zachowywaloby sie wtedy cialo puszczone swobodnie na rowniku

[luka52]

Na satelitę geostacjonarnego działa siła przyciągania grawitacyjnego oraz siła odśrodkowa. Obie siły się oczywiście równoważą.
Zapiszmy więc to za pomocą wzorów
\(\displaystyle{ F_g = F_{od}\\
G\frac{Mm}{R^2} = m \frac{v^2}{R}\\
G\frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R}}\)
Zauważmy, że lewa strona równości to przyśpieszenie ziemskie na powierzchni - czyli g!
\(\displaystyle{ g = \frac{v^2}{R}}\)
Kilka przekształceń:
\(\displaystyle{ g = \frac{(\frac{2\pi R}{T})^2}{R}\\
gR = 4\pi^2 \frac{R^2}{T^2}\\
g T^2 = 4\pi^2 R\\
T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 R}{g}}\\
T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}}\)
Przyjmując, że R=6.371e6 (m) oraz g=9.81 (ms^-2) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ T = 5063 (s)}\)
Czyli około 84.5 minuty!

Zastanow sie jak z punktu widzenia obserwatora spoczywajacego na powierzchni ziemi zachowywaloby sie wtedy cialo puszczone swobodnie na rowniku

No właśnie - zastanów się. Po pierwsze - co to jest orbita geostacjonarna - jak na takiej orbicie zachowuje się satelita?

[Amon-Ra]

Na satelitę geostacjonarnego działa siła przyciągania grawitacyjnego oraz siła odśrodkowa. Obie siły się oczywiście równoważą.

Oczywiście nie, ale niechże na tym poziomie wiedzy pytającego tak zostanie .

Wyjaśnienia - w tym temacie:
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?p=64825#64825

[luka52]

Amon-Ra, ok, to w takim razie obierzmy układ związany z satelitą.
BTW. Z tematu który podałeś w linku wynika, że przy obraniu układu związanego z Ziemią siła dośrodkowa działająca na satelitę ma zwrot "od" Ziemi - czyż nie? Troszkę mało intuicyjne to jest ale, faktycznie mówienie wtedy o sile dośrodkowej jest nie ścisłe.

[Doktór Piter]

mi sie wydaje ze r=2R poniewaz gdyby bylo R to satelita poruszala by sie po powerzchni ziemi a nie R od ziemi..

A co z druga czescia zadania, moglby ktos napisac, bo sie zastanawiam i nie idzie zrobic???

[luka52]

oblicz ile musialaby trwac doba ziemska aby orbita o promieniu rownym promieniowi ziemi mogla byc jednoczesnie orbita geostacjonarna

Więc promień orbity geostacjonarnej jest równy promieniowi Ziemi.

No a druga część zadania:
ciało "puszczone" swobodnie - jeżeli chodzi o spuszczenie aby ciało zaczęło spadać, no to poleci sobie "gdzieś" w bok - siła Coriolisa.
A jeżeli "puszczone" znaczy że zostawione to wtedy tam zostanie - ciało będzie satelitą geostacjonarnym