całka trygonometryczna

[prymas]

do takiej calki zastosowalem podstawienie uniwersalne:

\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1+sinx}{1+cosx} dx}\)


po przeksztalceniach otrzymalem:

\(\displaystyle{ t + \int_{}^{}\frac{2t}{t^{2}+1} dt}\)

calke w wyrazeniu obliczylem wykorzystujac fakt ze w liczniku jest pochodna mianownika ale wynik sie nie zgadza.

przed podstawieniem za 't' mamy: \(\displaystyle{ t+ln|t^{2}+1| +C}\)

czy moglby mi ktos wyjasnic co robie zle?

[Lady Tilly]

Rozpisz to na dwie całki:
\(\displaystyle{ \int\frac{sinx}{1+cosxdx}}\)
wtedy \(\displaystyle{ 1+cosx=t}\)
\(\displaystyle{ -sinxdx=dt}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{-1}{sinx}dt}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \int\frac{sinx}{1+cosxdx}=-\int\frac{1}{t}dt}\)
druga całka to:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{1+cosx}}\) zastosuj tu wzór, :
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{1+coscx}=\frac{1}{c}tg\frac{cx}{2}}\)

[spajder]

BTW ten drugi wzór możesz chyba osiągnąć, zapisując \(\displaystyle{ 1=\cos{0}}\) i uzywając wzoru na sumę kosinusów (nie wyprowadzałem, ale na oko powinieneś dostać kwadrat kosinusa w mianowniku)