czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć, w jaki sposób obliczyć, czy granica jednostronna w danym punkcie jest w \(\displaystyle{ +{\infty}}\), czy w \(\displaystyle{ -{\infty}}\)? Np.
1) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2 - 4}{3-x}}\)
Licze granice jednostrone tej funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}\frac{x^2 - 4}{3-x}=\frac{3^2 - 4}{3 - 3}=\frac {5}{0}=+\infty}\)
Granica lewostronna zgadza się, ale prawostronna już nie:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}\frac{x^2 - 4}{3-x}=\frac{3^2 - 4}{3 - 3}=\frac {5}{0}=+\infty}\), bo jak łatwo można przkonać się rysując wykres tej funkcji, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to3^+}\frac{x^2 - 4}{3-x}=-\infty}\)
Podobnie, w poniższym przykładzie wychodzi mi zły wynik:
2) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1}{(x - 1)(x+1)}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1}{(-1)^2 -1}=\frac{1}{0}=+\infty}\)
Zgadza się.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1}{(-1)^2 -1}=\frac{1}{0}=+\infty}\)
kupa
Dla x->1 lewostronna granica wychodzi mi źle, a prawostronna dobrze (tak jak powyżej w obu przypadkach wychodzi mi \(\displaystyle{ +\infty}\))
Prosiłbym na podanie uniwersalnego sposób na określenie czy granica funkcji jest w \(\displaystyle{ +\infty}\) czy w \(\displaystyle{ -\infty}\) (czy niezbędna do tego jest pochodna funkcji, aby określić monotoniczność funkcji odpowiednio przed i za punktem granicy?). Czy jedyną metodą obliczania granicy w danym punkcie jest podstawienie za x tego punktu, tak jak zrobiłem to powyżej?
Z góry dzięki!
Pozdro!
