Co robic z mianownikiem [2 calki]

[Art511]

Jaki bedzie wynik takiej calki:

\(\displaystyle{ \int\frac{18x^5-12x^2+2x}{3x^6-4x^3+x^2-x}dx}\)

Jesli wyliczymy calke z licznika prawie wszystko skroci sie z mianownikiem, ale pytanie, czy nie trzeba wyliczyc calki z mianownika?

Wogole nierozumiem za bardzo co w przypadku gdy mamy jakies wyrazenie w mianowniku - bierzemy je do licznika z podnoszac do potegi \(\displaystyle{ ^{-1}}\)

Jesli tak to jaki bedzie wynik calki:

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{1+x^2}}\)

Mi wyszloby:
\(\displaystyle{ \int(x*x^{-2})dx= -\frac {x^2}{2x}}\)

A odpowiedz jest calkiem inna z logartymem...

POMOCY

[luka52]

Pierwsza całka - licznik pochodną mianownika, więc wynik to \(\displaystyle{ \ln{|3x^6-4x^3+x^2-x|}+C}\)

[ Dodano: 12 Styczeń 2007, 22:18 ]
W kolejnej całce także licznik jest pochodną mianownika, z tym że pomnożony jest przez stałą, wynik to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+C}\)

[Lorek]

licznik pochodną mianownika

Licznik nie jest pochodną mianownika...

[luka52]

Lorek, mógłbyś wytłumaczyć bardziej dokładnie o co Ci chodzi?

[Lorek]

1 całka
\(\displaystyle{ (3x^6-4x^3+x^2-x)'=18x^5-12x^2+2x-1\neq 18x^5-12x^2+2x}\)

[luka52]

Lorek, ach, faktycznie
Ale w drugiej na pewno licznik jest pochodną mianownika.

[Art511]

Super, szkoda, ze tak lakonicznie, moze ktos to rozpisac i wyjasnic, wynik to ja mam w odpowiedziach...

Niezle, widze, ze nikt nie liczy tych zadan krok po kroku tylko od razu zna wynik - fajna sprawa!

[Lorek]

Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \int \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|f(x)|+C}\)
czyli w tym przykładzie
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+1} dx=\int\frac{2x}{2(x^2+1)}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1) +C}\)

[Art511]

Nie rozumiem 2 i 3 kroku...

[Lorek]

W 2 przemnażam licznik i mianownik przez 2, by otrzymać w liczniku pochodną mianownika, w 3 wyłączam stałą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed całkę.

[Art511]

W 2 przemnażam licznik i mianownik przez 2, by otrzymać w liczniku pochodną mianownika, w 3 wyłączam stałą frac{1}{2} przed całkę.

A skad w 3 korku wzial sie taki licznik i skad ta 1/2 przed calka ja tam widze najwyzej 2/2...

Jak zrobic przyklad nr 2 w moim pytaniu?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \int \frac{2x}{2(x^2+1)}=\int \frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}}\)
widać? a w tym 2 gdyby licznik był trochę inny, to byłoby łatwo, a tak nie jest...

[Art511]

int frac{2x}{2(x^2+1)}=int frac{1}{2}cdot frac{2x}{x^2+1}=frac{1}{2}intfrac{2x}{x^2+1}
widać? a w tym 2 gdyby licznik był trochę inny, to byłoby łatwo, a tak nie jest...

Hmm, dalej nie wiem skad sie wzielo \(\displaystyle{ x^2+1}\) w liczniki

[Lorek]

Hmm czy my rozpatrujemy te same całki? Ja mówię o tej
\(\displaystyle{ \int \frac{x dx}{1+x^2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C}\)

[Art511]

Hmm czy my rozpatrujemy te same całki? Ja mówię o tej
t frac{x dx}{1+x^2}=frac{1}{2}ln(x^2+1)+C

TAK.

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+1} dx=\int\frac{2x}{2(x^2+1)}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1) +C}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}}\)