Zadanie z podzielnością przez 7

[uzi3]

Udowodnij, że dla każdego n należącego do naturalnych liczba \(\displaystyle{ 2^{n+2}+3^{2n+1}}\) jest podzielna przez 7. Prosiłbym o rozwiązanie inną metodą niż indukcyjna. Pozdr.

[kuch2r]

Rozpatrzmy kongruencje:
\(\displaystyle{ 2^{n+2}+3^{2n+1}\equiv 0\quad (mod \ 7)\\4\cdot 2^n+3\cdot 9^n\quad (mod \ 7)}\)
\(\displaystyle{ 9\equiv 2 \quad (mod \ 7)\\9^n\equiv 2^n \quad (mod \ 7)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 4\cdot 2^n+3\cdot 9^n\equiv 0 (mod \ 7)\\4\cdot 2^n+3\cdot 2^n\equiv 0 (mod \ 7)\\7\cdot 2^n\equiv 0 (mod \ 7)}\)

[uzi3]

Rozpatrzmy kongruencje:
\(\displaystyle{ 2^{n+2}+3^{2n+1}\equiv 0\quad (mod \ 7)}\)

To założenie, tak??
A można jeszcze inaczej??

[max]

To założenie, tak??

Nie, to jest udowadniana teza, która jest przekształcana na równoważne, aż do osiągnięcia
\(\displaystyle{ 7\cdot 2^{n} \equiv 0 od{7}}\) co jest prawdą dla każdego n naturalnego.

[uzi3]

dzięki