Równania ruchu pocisku

[author]

Otóż mam sobie równania ruchu pocisku wystrzelonego z armaty:
x''(t) = -c * x'(t)
y''(t) = -c * y'(t) - g

g - przyspieszenie grawitacyjne, c- współczynnik aerodynamicznego oporu lepkiego
Teraz mam wyprowadzic te równania z "normalnych" równań ruchu, ale to jest ponad moje sily na te chwile i prosze Was o pomoc.

[luka52]

\(\displaystyle{ x''(t) = - c x'(t)}\), czyli: \(\displaystyle{ a_x(t) = -c v_x(t)}\)
oraz \(\displaystyle{ a_y(t) = -c v_y(t) - g}\)
Z powyższych równań wynika, że na ciało działa siła oporu proporcjonalna do prędkości.
Czyli "normalne" równania ruchu z uwzględnieniem oporu proporcjonalnego do prędkości.

[author]

tak, nom, zle sie wyrazilem, przepraszam.
Chodzi o znalezienie rozwiazania analitycznego x(t) i y(t) i moze nie tyle co droga matematyczna, co fizyczna w miare mozliwosci.

[luka52]

Czyli należy rozwiązać równanie różniczkowe liniowe o współczynnikach stałych.
Dla składowych x:
Stosujemy podstawienie:
\(\displaystyle{ x=e^{ry}\;\;x'=re^{ry}\;\;x''=r^2e^{ry}\\
r^2e^{ry} = -c re^{ry}\\
r^2 = -cr \Rightarrow r^2 + cr = 0\\
\Delta = c^2 > 0}\)
Czyli rozwiazaniem jest:
\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{r_1 t} + C_2e^{r_2 t}}\)
gdzie r1, r2 to pierwiastki równania kwadratowego (wyżej), a stałe C1, C2 zależą od warunków początkowych.
Analogicznie y(t).

[author]

wow, fajnie, dzieki za zainteresowanie, poszukalem sobie stronki jeszcze z rownaniami rozniczkowymi i wszystko rozumiem.

Czy od strony fizycznej(sily, itp), tzn. mamy takie zjawisko jak wyzej, jest armata i strzelamy. Oczywiscie mamy warunki brzegowe. Czy tutaj jest ciezko z rachunkami (wzorami) ?

[luka52]

Myślę, że nie powinno być strasznie