oblicz granice.

[krystian122]

Witam.

Mam kolejny problem matematyczny.
Jakby ktos potrafil to obliczyc, to byłbym bardzo wdzieczny:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\((n+1)!(x-1)^{n+1}*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!*(x-1)^n}}\)

[greey10]

na poczatek bym to troszke inaczej zapisal:
\(\displaystyle{ \lim \frac{(n+1)!(x-1)^{n+1}*n^{n}}{(n+1)!(n+1)^{n}(x-1)^{n}}=\lim \frac{(n+1)!}{(n+1)!}*\lim (\frac{n}{n+1})^{n}*\lim(x-1)^{n}}}\)
pierwszy element dazy do 1
drugi elemnt do \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)
a trzeci element i tu nie wiem jak to skonczyc poniewarz nie wiem czy mam to podzielic na przypadki czy moze co innego nigdy wczesniej nie spotkalem sie z czyms takim wiec ktos musi dokonczyc ;p

[krystian122]

Najmocniej przepraszam, ale pewnie ze wzgledu na pozna pore pomylilem sie w przepisywaniu.
Otoz:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\|(n+1)!*n^n|}{|(n+1)^{n+1}*n!|}}\)

[max]

greey10 w czym problem?
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to } \frac{(n+1)!\cdot (x - 1)^{n + 1}\cdot n^{n}}{(n + 1)^{n + 1}\cdot n! (x - 1)^{n}} = \lim\limits_{n \to } \frac{(n + 1)(x - 1)(\frac{n}{n+1})^{n + 1}}{n} = \lim\limits_{n \to } \frac{n+1}{n}\cdot ((1 + \frac{1}{-(n + 1)})^{-(n + 1)})^{-1} (x - 1) = \frac{x - 1}{e}}\)

edit.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|(n+1)!\cdot n^n|}{|(n+1)^{n+1}\cdot n!|} =
\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n + 1)! n^{n}}{(n + 1)^{n + 1} n!}| = \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n + 1) n^{n}}{(n + 1)^{n + 1}}| = \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n + 1) (\frac{n}{n + 1})^{n+1}}{n}| = \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{n+1}{n}\cdot ((1 + \frac{1}{-(n + 1)})^{-(n + 1)})^{-1}| = \frac{1}{e}}\)

[greey10]

ahhahaahhaahha ;D juz wiem w czym problem zle skrocilem ;d i mi wyszlo niewaiadomo skad \(\displaystyle{ (x-1)^{n}}\) chyba 3:19 nie jest najlepsza pora ;p