Zbadaj zbieżność szeregu

[AMD_20]

Zbadaj zbieżność szeregu
a) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-1)3^{3n-1}}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+10n+6}}\)

[madallenka]

a)
Z kryterium De' Alemberta:
\(\displaystyle{ |{\frac{\frac{1}{(3n-1)3^{3n-1}} }{\frac{1}{(3(n+1)-1)3^{3(n+1)-1}} }}|= |{\frac{(3(n+1)-1)3^{3(n+1)-1} }{(3n-1)3^{3n-1}}|=|{\frac{3n-1}{3n+2}\cdot \frac{3^{3n-1}}{3^{3n-1}\cdot 3^3}}|}\)
\(\displaystyle{ =|{\frac{3-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}\cdot \frac{1}{ 3^3}}|\rightarrow 1 \cdot (\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}}\).

Zatem szereg jest zbieżny!

[Mapedd]

a drugim zauwaz za kazdy wyraz szeregu bedzie mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2}}\) czyli mniejszy o wyrazow szeregu zbieznego, [kryt. porownawcze]