Skąd się bierze dx?

jpk2 · Post autor: **jpk2** » 28 gru 2006, o 22:50

Może pytania jest naiwne, banalne i w ogóle, ALE... skąd się bierze "dx" na końcu całki? Pewnie z jakiejś różncizki, ale jak dokłądnie to wyprowadzic/wsadzic tam na koniec?

Z góry dziękujęza odpowiedź i sorry za zawracanie głowy

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 28 gru 2006, o 22:55

Sumujesz takie malutkie prostokąciki, a dx to jest podstawa takiego małego prostokącika, dx--->0.Comprende?

jpk2 · Post autor: **jpk2** » 28 gru 2006, o 23:49

No, nei bardzo... bo co to ma do zapisu ∫f(x) dx? Jak w ogóle dojśc do takiej postaci?

dy = y'dx i co z tego?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 28 gru 2006, o 23:53

Jeżeli dx---->0 to pole tego prostokącika dązy do wartości funkcji (długości drugiego boku). A całkowanie to nieskończone sumowanie tych prostokącików. Znajdź sobie gdzieś geometryczną interpretację całki.

Post autor: **Calasilyar** » 28 gru 2006, o 23:59

jpk2 pisze:dy = y'dx

\(\displaystyle{ y'=\frac{dy}{dx}\\
dy=y'dx\\
\int dy = \int y'dx\\
y=\int y'dx}\)

i wszystko.

MalikMP · Post autor: **MalikMP** » 29 gru 2006, o 21:54

Ja chcę dodać, że wystarczy potraktować ∫f(x)dx jako symbol jednolity reprezentujący granice.
Rzecz ma się podobnie jak w przypadku symbolu pochodnej według Leibniza. Przecież i jego można rozpatrywać jako symbol jednolity, ale jeśli ktoś chce może widzieć ułamek.

mirecque · Post autor: **mirecque** » 22 sty 2007, o 14:25

Ja bym Ci to wyjaśnił na kartce, rysując długopisem. Rysujesz sobie wykres funkcji i dzielsz go liniami prostymi na prostokąciki. Na osi OX odłożone odcinki mają długość Δx czyli przyrost argumentu xn+1 - xn. A wysokość prostokąta w punkcie xn = f(xn) itd. Czyli pole prostokąta = f(xn)•Δx. Jeśli podzielisz odcinek na osi OX (pod wykresem) na nieskończenie wiele równych odcineczków Δx (czyli Δx→0) to taki odcineczek nazwiemy sobie dx. A więc wtedy można przyjąć, że xn→xn+1 czyli argument nazwijmy x. A więc pole prostokącika (nieskończenie cienkiego (matematycy zabiją mnie za te wszystkie nieścisłości)) będzie wynosić f(x)•dx. Jeśli je zsumujemy od punktu x1 do punktu xk, a znak sumy zastąpimy znakiem całki (bo jest to suma ciągła - argument jest rzeczywisty - jego wzrost jest ciągły) to otrzymamy:

∫f(x)dx = pole pod wykresem od punku x1 do xk. Jeśli granice całkowania przyjmiemy od x1 do xk. To tak pobieżnie o całce oznaczonej. Całka nieoznaczona przedstawia zbiór funkcji (tzw. pierwotnych), których to różnica wartości dla argumentów xk i x1 daje całkę nieoznaczoną. Z tym polem pod wykresem to też nie jest takie proste (nie jest ono tożsame z całką oznaczoną) i obwarowane wieloma implikacjami.
Tak naprawdę całka oznaczona jest równa kresowi dolnemu sum górnych i kresowi górnemu sum dolnych pod warunkiem, że są sobie równe. Te sumy to ( w duzym uproszczeniu sumy prostokącików) .

Najlepiej bym Ci to wyjasnił na kartce, ale siedzę w kafejce internetowej..

Matematycy wybaczcie mi te nieścisłości..

Post autor: **luka52** » 22 sty 2007, o 14:28

mirecque, tylko, że to co napisałeś dotyczy całki oznaczonej.

mirecque · Post autor: **mirecque** » 23 sty 2007, o 11:09

wiem, ale na bazie interpretacji geometrycznej całki oznaczonej najłatwiej jest wytłumaczyć skąd się bierze symbol "dx". Jak ktoś już "poczuje" wyrażenie "dx" to zrozumie dogłębnie rachunek różniczkowy i całkowy. A najłatwiej jest przedstawić jego sens na przykładach "życiowych"