pochodna z definicji

[kawaii]

Mam mały problem z obliczeniem pochodnych tych trzech funkcji, korzystając z DEFINICJI.

a) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{sin{x}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=0,5\cdot\pi}\)



b) \(\displaystyle{ f(x)=e^{-x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\)


c) \(\displaystyle{ f(x)=log_{2}x}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=e}\)

[max]

a) \(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{f(x) - f(\frac{\pi}{2})}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}}}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\sin \frac{\pi}{2} - \sin x}{\sin \frac{\pi}{2} \sin x}}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{\pi}{2} - \sin x}{(x - \frac{\pi}{2})\sin \frac{\pi}{2} \sin x} = \\=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 \sin \frac{x - \frac{\pi}{2}}{2} \cos \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2}}{2\frac{x - \frac{\pi}{2}}{2}\sin \frac{\pi}{2} \sin x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2}}{\sin \frac{\pi}{2} \sin x} = \frac{-\cos \frac{\pi}{2}}{\sin^{2}\frac{\pi}{2}} = 0}\)

Stąd
\(\displaystyle{ \csc' \frac{\pi}{2} = 0}\)

[edit]
Poprawiłem zapis: chociaż oczywiście jest też \(\displaystyle{ (csc \frac{\pi}{2})' = 0}\) to chodziło o \(\displaystyle{ csc' \frac{\pi}{2}}\)

[LecHu :)]

c).
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{e}}\frac{log_{2}(x)-log_{2}(e)}{x-e}=\frac{1}{x-e}\lim\limits_{x\to{e}}log_{2}(\frac{x}{e})}\)
Teraz zrobie podstawienie: x-e=t i widać że t--->0
\(\displaystyle{ \frac{1}{t}\lim\limits_{t\to0}log_{2}(\frac{e+t}{e})=log_{2}\lim\limits_{t\to0}(1+t{\cdot}\frac{1}{e})^{\frac{1}{t}}
=\frac{log_{2}e}{e}}\)
Ostatnie przejście jest w podręcznikach więc chyba nie muszę go udowadniać.

[max]

b)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{-x} - e^{0}}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{-x} - 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{((1 - x)^{\frac{1}{x}})^{-x} - 1}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1 - x)^{-1} - 1}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} - 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - 1 + x}{(1 - x)x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{1 - x} = 1}\)

Stąd
\(\displaystyle{ f'(0) = 1}\)