[Nierówności] Niebanalna nierówność

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[n]{m+1}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n+1}} \geq 1}\)

[arek1357]

W sumie banalna:
wystarfczy założyć nie wprost że każdy z tych składników
jest mniejszy od 1/2 , potem podnieść odpowiednio każdą z tych nierówności do potęg odpowiednio m i n,i dodać stronami obie nierówności
od razu łatwo zauważyć sprzeczność

[Rzeszut]

W sumie banalna:
wystarfczy założyć nie wprost że każdy z tych składników
jest mniejszy od 1/2 , potem podnieść odpowiednio każdą z tych nierówności do potęg odpowiednio m i n,i dodać stronami obie nierówności
od razu łatwo zauważyć sprzeczność

Udowodniłeś w ten sposób tylko tyle, że co najmniej jeden ze składników jest większy lub równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a to jeszcze nie wystarczy.

[yorgin]

Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{m+1}=\sqrt[n]{(m+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{m+1+n-1}{n}=\frac{m+n}{n} \\
\mbox{w klamerce jest n-1 czynnikow}\\
\sqrt[n]{m+1} \leq \frac{m+n}{n}\\
\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}} \geq \frac{n}{n+m}\quad (1)\\
}\)

analogicznie dla drugiego pierwiastka:

\(\displaystyle{ \sqrt[m]{n+1}=\sqrt[m]{(n+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{n+1+m-1}{n}=\frac{n+m}{m} \\
\mbox{w klamerce jest m-1 czynnikow}\\
\sqrt[m]{n+1} \leq \frac{n+m}{m}\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}} \geq \frac{m}{m+n}\quad (2)}\)

Z (1) i (2) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq \frac{n}{n+m}+\frac{m}{m+n}=\frac{m+n}{m+n}=1\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq 1\\ c.n.d.}\)